HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG


Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ SONG SONG
(Hình học 11 ban cơ bản)
*********
Bài 2:
Giáo viên : Nguyễn Thị Xuân
Đặt vấn đề
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b.
Xét vị trí tương đối của chúng?
Trả lời
1/ a và b cắt nhau.
2/ a và b song song với nhau.
3/ a và b trùng nhau.
Nếu a và b nằm trong không gian thì có những vị trí tương đối nào?
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trường hợp 1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng (hai đường thẳng đồng phẳng)
Như vậy: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trường hợp 2: a và b không cùng nằm trong một mặt phẳng (hai đường thẳng chéo nhau)
Như vậy: hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Một số hình ảnh về vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ1:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng :
a) A’D’ và DD’
A’D’ và DD’ cắt nhau
b) AB và CD
AB và CD song song nhau
c) AA’ và CD
AA’ và CD chéo nhau
d) BD’ và CD
BD’ và CD chéo nhau
CỦNG CỐ
a , b chéo nhau
a // b
Mô tả
Khác nhau
Giống nhau
Không đồng phẳng
Đồng phẳng
Không có điểm chung
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian:
Đồng phẳng
Không đồng phẳng
Hai đường thẳng chéo nhau
Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng song song
Hai đường thẳng trùng nhau
a chéo b
Định lý 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Nhận xét : Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian:
Định lý 2:
(ĐL về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng qui hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.
a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Gọi M và N tương ứng là trung điểm của SB và SC. Chứng minh rằng MN song song với AD.
S
A
B
C
D
Giải
a) Ta có S là điểm chung của
(SAD) và (SBC). Mà:
Nên giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song với AD, BC.
Điểm chung của (SAD) và (SBC) ?
Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) chứa hai đường thẳng nào song song với nhau ?
Ví dụ:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD.
a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Gọi M và N tương ứng là trung điểm của SB và SC. Chứng minh rằng MN song song với AD.
S
A
B
C
D
Giải
b) Xét ABC ta có : MN là đường trung bình nên MN //BC (1)
Điểm chung của (SAD) và (SBC) ?
Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) chứa hai đường thẳng nào song song với nhau ?
M
N
Từ (1) và (2) suy ra: MN//AD (đpcm)
Mặt khác: AD//BC (giả thiết) (2)
Định lý 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Bài tập1/59
Cho Tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. CMR nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy.