I. Hàm số liên tục tại một điểm
§3 Hàm số liên tục
Xét các hàm số :
-1
0
1
1
2
x
y
(d1)
-1
0
1
1
2
x
y
(d2)
3
-1
0
1
1
2
y
(d3)
x
Đối với hàm số y=f(x) khi xét tại một điểm x=x0, có thể xảy ra những khả năng sau:
Khi đó ta nói " Hàm số không liên tục ( hay gián đoạn ) tại x=x0 ``.
Dồ thị của hàm số vẫn là đường không liền nét.
Khi đó ta cũng nói "Hàm số không liên tục (hay gián đoạn) tại x=x0 ".
Đồ thị hàm số là đường liền nét

Khi đó ta nói ‘’ H/S f(x) liên tục tại x=x0 “.
Các bước kiểm tra một hàm số liên tục tại x0 (gồm 3 bước )
1) f(x) xác định tại x=x0 (điểm đó thuộc tập TXĐ).
2) (tồn tại giới hạn của hàm số tại điểm đó).
3) (giới hạn tại x0 phải bằng giá trị của hàm số tại điểm đó).
II. Hàm số liên tục trên một khoảng
Định nghĩa 2
Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số y= f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và


H/S y = f(x) được gọi là liên tục trên nửa khoảng
(a, b] nếu nó liên tục trên (a, b) và

H/S y = f(x) được gọi là liên tục trên [a, +∞) nếu nó liên tục trên (a, +∞) và

O
x
y
a
b
f(a)
f(b)
y=f(x)
ĐỒ THỊ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN 1 KHOẢNG LÀ 1 ĐƯỜNG LIỀN NÉT TRÊN KHOẢNG ĐÓ

a
b
f(a)
f(b)
Đồ thị hàm số không liên tục trên khoảng (a, b)
III. Một số định lý cơ bản
Định lý 1.
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
b) Hàm số phân thức hữu tỷ ( thương của hai đa thức ) và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của TXĐ của chúng.

Định lý 2.
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó.
Các hàm số y= f(x) + g(x), y= f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại x0.
Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
VD2: Cho h�m:
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó
Giải:
. Nếu
Thì có tập xác

d?nh là (-?; 2)U (2;+?) .


Tập xác định: D = R.
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-?; 2)và (2;+?)
. Nếu x =2 thì h(2) = 5 và
Vì
Nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 2.
KL: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-?; 2) , (2;+?)
và gián đoạn tại x = 2.

Định lý 3.
O
x
y
a
b
f(a)
f(b)
Trên[{a,b] hàm số f(x) liên tục và
f(a) .f(b) <0 thì đồ thị hàm số sẽ cắt trục Ox tại ít nhất 1 điểm trong (a,b)
y=f(x)
C
VD3: CMR phương trình x3 + x – 6 =0 có ít nhất một nghiệm
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] và f(a)f(b) < 0, thì phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b)