Trường THPT Nguyễn Việt Dũng - 161 đường Lê Bình, quận Cái Răng, thành phố Cần Thơ, tỉnh Cần Thơ
Hoạt động 1: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 1 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi BH = c` và CH = b`. Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
latex(a^2 = b^2 + c^ 2) latex(b^2 = a.b`)
: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Chúng ta biết rằng một tam giác được hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó. Như vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức lượng trong tam giác. Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng. Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu: a = BC, b = CA, c = AB. : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 1 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = h và có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi BH = b` và CH = b`. Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để được các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
latex(a^2 = b^2 + ||latex(c^2|| latex(b^2 = a.||b`|| latex(c^2 = a.||c`|| latex(h^2 = b`.||c`|| latex(ah = b.||c|| ||latex(1/(h^2|| = latex(1/(b^2) + 1/(c^2) latex(sinB = cosC = ||b||/a; latex(sinC = cosB = ||c||/a latex(tanB = cotC = ||b||/c; latex(cotB = tanC = ||c||/b Định lí côsin: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
a) Bài toán. Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC GIẢI A B C Ta có latex(BC^2 = |vec (BC)| = (vec (AC) - vec(AB))^2 = vec (AC)^2 + vec (AB)^2 - 2 vec (AC). vec (AB) latex(BC^2 = vec (AC)^2 + vec (AB)^2 - 2|vec (AC)|.|vec (AB)|cosA Vậy ta có latex(BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC.AB.cosA nên latex(BC = sqrt(AC^2 + AB^2 -2AC.AB.cosA : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra định lí sau đây: b) Định lí côsin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có latex(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA; latex(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB; latex(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC; : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 2 Hãy phát biểu định lí côsin bằng lời Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương các cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó. : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 3 Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào? Đó là định lí Py - ta - go : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Từ định lí côsin ta suy ra: Hệ quả latex(cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc); latex(cosB = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac); latex(cosC = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab); : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
c) Áp dụng. Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi latex(m_a, m_b) và latex(m_c) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Ta có: A B C M c latex(m_a latex(a/2 b latex(m_a^2 = (2(b^2 + c^2) - a^2)/4; latex(m_b^2 = (2(a^2 + c^2) - b^2)/4; latex(m_c^2 = (2(a^2 + b^2) - c^2)/4; : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Thật vậy, gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lí côsin vào tam giác AMB ta có: latex(m_a^2 = c^2 + (a/2)^2 - 2.c.a/2.cosB = c^2 +(a^2)/4 - ac cosB Vì latex(cosB = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)) nên suy ra: latex(m_a^2 = c^2 +(a^2)/4 - ac. (a^2 + c^ 2 - b^2)/(2ac) = (2(b^2 + c^2) - a^2)/4 Chứng minh tương tự ta có: latex(m_b^2 = (2(a^2 + c^2) - b^2)/4 latex(m_c^2 = (2(a^2 + b^2) - c^2)/4 : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 4 Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm. Hãy tính độ dài đường trung tuyến latex(m_a) của tam giác ABC đã cho
Ta có latex(m_a^2) = ||latex((2(b^2 + c^2) - a^2)/4) ||= ||latex((2(64 + 36) - 49)/4)|| = ||latex(151/4|| Suy ra latex( m_a) = ||latex(sqrt(151)/2|| : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
d) Ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm và góc latex(angle(C)) = latex(110^0). Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó. GIẢI A B C 10 16 latex(110^0) Đặt BC = a, CA = b, AB = c. Theo định lí côsin ta có:
latex(c^2) = ||latex(a^2 + b^2 - 2ab cosC)|| = ||latex(16^2 + 10^2 - 2.16.10. cos110^0 ||latex(~~ 465,44)|| Vậy ||latex(c~~ sqrt(465,44) ~~ 21,6) (cm)|| : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Theo hệ quả định lí côsin ta có:
latex(cosA) = ||latex((b^2 + c^2 - a^2)/(2bc))||||latex(~~ (10^2 + (21,6)^2 - 16^2)/(2.10.(21,6))||||latex(~~ 0,7188)|| Suy ra|| latex(angle(A) ~~ 44^0 2`|| || latex(angle(B) = 180^0 -(angle(A) + angle(C)) ~~ 25^0 58`)|| : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Ví dụ 2 Hai lực latex(vec(f_1)) và latex(vec(f_2)) cho trước cùng tác dụng lên một vật và tạo thành góc nhọn latex((vec(f_1),vec(f_2)) = alpha). Hãy lập công thức tính cường độ của hợp lực latex(vec(s). Giải Đặt latex(vec(AB) = vec(f_1), vec(AD) = vec(f_2)) và vẽ hình bình hành ABCD Khi đó latex(vec(AC) = vec(AB) + vec(AD) = vec(f_1) + vec(f_2) = vec(s) Theo định lý côsin đối với tam giác ABC ta có latex(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BC.cosB hay latex(|vec(s)|^2 = |vec(f_1)|^2 + |vec(f_2)|^2 - 2 |vec(f_1)|.|vec(f_2)|.cos(180^0 - alpha) Do đó latex(|vec(s)| = sqrt(vec(f_1)^2 + vec(f_2)^2 +2|vec(f_1)|.|vec(f_2)|.cos alpha Định lí sin: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Hoạt động 5 Cho tam giác ABC vuông ở A nội tiếp trong đường tròn bán kính R và có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh hệ thức: latex(a/(sinA) = b/(sinB) = c/(sinC) = 2R
Ta có latex(sinA = ||latex(sin90^0)|| = ||1|| Do tam giác ABC vuông ở A nên ta có a = BC = ||2R|| Vậy tỉ số latex(a/(sinA) = ||2R|| Mặt khác ta cũng có latex(b/(sinB) = ||latex(b/(b/(2R))) ||= ||2R|| Tương tự ta cũng có ||latex(c/(sinC) = 2R|| Vậy ||latex(a/(sinA) = b/(sinB) = c/(sinC) = 2R)|| : Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Đối với tam giác ABC bất kì ta cũng có hệ thức trên. Hệ thức này được gọi là định lí sin trong tam giác a) Định lí sin Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: latex( latex(a/(sinA) = b/(sinB) = c/(sinC) = 2R