Hai con đường lớn a và b cắt nhau tạo
thành một góc. Bên trong góc đó có một
điểm dân cư O. (H.3.27)

Hình 3.27

Phải mở một con đường thẳng đi qua O
cắt a tại A, cắt b tại B như thế nào để
hai đoạn đường OA và OB bằng nhau ?

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Khái niệm hình bình hành.
Trong Hình 3.28, có một hình bình hành. Đó là hình nào?
Em có thể giải thích tại sao không?

Hình 3.28

Tứ giác trong Hình 3.28c là hình bình hành vì:
Ta so sánh độ dài các cạnh đối trong tứ giác bằng cách đếm số ô vuông
trong hình, Ta thấy AB = CD; AD = BC.

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Khái niệm hình bình hành.
 Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
A

B

𝐴𝐵/¿𝐶𝐷
D

C

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Khái niệm hình bình hành.

Trong Hình 3.29, cho tứ giác ABCD và ba góc bằng nhau.
Tứ giác ABCD có là hình bình hành không? Tại sao ?
A

 Ta có và chúng ở vị trí so le trong nên
AB // CD
Tương tự AD // CB

y

x

D

Vậy theo định nghĩa, tứ giác ABCD là hình bình hành

Hình 3.29

B

C

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Khái niệm hình bình hành.

1

Vẽ hình bình hành, biết hai cạnh liên tiếp bằng 3 cm, 4 cm và
góc xen giữa hai cạnh đó bằng 60°. Hãy mô tả cách vẽ và
giải thích tại sao hình vẽ được là hình bình hành.
x

 Giả sử hình bình hành ABCD có AD = 3cm,
AB = 4 cm và
Vẽ cạnh AB = 4 cm.
Vẽ . Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD =

3cm.

y
C

D

z

3cm
600
A

4cm

B

Kẻ By // AD, Dz // AB. Hai tia By và Dz cắt nhau
tại C, ta được hình bình hành ABCD.
Hình vẽ được là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song (AB // CD, AD // BC).

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Tính chất hình bình hành.
Hãy nêu các tính chất của hình bình hành mà em đã biết.
A

 Các tính chất của hình bình hành mà em đã
được học ở lớp 6:

O

– Các cạnh đối song song.
– Các cạnh đối bằng nhau

B

D

– Các góc đối bằng nhau
– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

C

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Tính chất hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).
a) Chứng minh
Từ đó suy ra AB = CD , AD = BC và
b) Chứng minh . Từ đó suy ra
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O.
Chứng minh . Từ đó suy ra OA = OC , OB = OD
A

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD; AD // BC.
Suy ra ;
Xét và có : , cạnh chung AC, nên (g.c.g)
Suy ra AB = CD , AD = BC và

B

O
D

Hình 3.30

C

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Tính chất hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD (H.3.30).
a) Chứng minh
Từ đó suy ra AB = CD , AD = BC và
b) Chứng minh . Từ đó suy ra
c) Gọi giao điểm của hai đường chéo AC, BD là O.
Chứng minh . Từ đó suy ra OA = OC , OB = OD
A

b) Xét ∆ABD và ∆CDB có: AB = CD , AD = BC và cạnh
BDra. Do
∆ABD
= ∆CDB
Suy
(haiđó
góc
tương
ứng). (c.c.c).
c) Xét ∆AOB và ∆COD có : , AB = CD và . Do đó
∆AOB = ∆COD (g.c.g).
Suy ra OA = OC, OB = OD (các cặp cạnh tương ứng).

B

O
D

Hình 3.30

C

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Tính chất hình bình hành.

 Định lí 1 :
Trong hình bình hành :
a) Các cạnh đối bằng nhau
b) Các góc đối bằng nhau
c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đường
A

B

O
D

C

 Nhận xét : Trong một hình bình hành , hai góc kề một cạnh bất kì là hai
góc bù nhau .

1 . HÌNH BÌNH HÀNH VÀ TÍNH CHẤT

 Tính chất hình bình hành.
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường
thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song
song với AC, cắt AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP.
Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

1

A

 Xét tứ giác APMN có:
• MN // AP (vì MN // AB)
•

P

I

N

MP // AN (vì MP // AC)

Do đó tứ giác APMN là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AM, NP cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường

B

Mà I là trung điểm của đoạn NP, nên I là trung điểm của đoạn thẳng AM

M

C

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Theo em, bạn nào đúng? Vì sao?

 Khẳng định của bạn Vuông là đúng.
Trường hợp 1: Hình thang
có hai cạnh bên bằng nhau
nhưng không song song
với nhau thì hình thang đó
là hình thang cân.

A

D

B

C

Trường hợp 2: Hình
thang có hai cạnh bên
bằng nhau và song song
với nhau thì hình thang
đó là hình bình hành.

M

Q

N

P

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.
 Định lí 2 :
a) Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là một hình bình
hành
b) Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau
là một hình bình hành .
A

 Câu hỏi : Hãy viết giả thiết,

kết luận của Định lí 2.

a)

D

b)

B

C

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.
Cho hình bình hành ABCD. Từ A, C kẻ AH , CK cùng
vuông góc với BD ( Hình 3.31)
Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

2

A

GT
KL

B
K

ABCD là hình bình hành

BD

AHCK là hình bình hành

Theo giả thiết: ABCD là hình bình hành nên AD // BC
và AD // BC , suy ra (góc so le trong)

1
D

1

H
Hình 3.31

C

Hai tam giác vuông AHD và CKB có : AD = BC , nên chúng bằng nhau
Do đó AH = CK. Mặt khác AH và CK cùng vuông góc với BD nên AH // CK.
Tứ giác AHCK có cặp cạnh đối AH, CK song song và bằng nhau nên theo định lí 2 ,
AHCK là hình bình hành.

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.

2

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D
cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (Hình 3.32)
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác
cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

 Do AB > BC nên E nằm giữa A và B; F nằm giữa D và C.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay BE // DF.
Vì DE là tia phân giác của nên
Do nên
Suy ra tam giác ADE cân tại A
Tương tự ta cũng chứng minh được: tam giác BCF cân tại C.
Vì ABCD là hình bình hành nên AD = BC , ,

E

A

1

2
1
D

F

1
2

1

Hình 3.32

C

B

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.
Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D
cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (Hình 3.32)
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác
cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

2

E

A

1

Vì AE là tia phân giác , BF là tia phân giác nên

1^
^
^
𝐵1= 𝐵 2= 𝐴𝐵𝐶
2

Do nên :

1^
^
^
;❑ 𝐷1= 𝐷2= 𝐴𝐷𝐶
2

^
^ =^
^
𝐵 1= 𝐵
𝐷
=
2
1 𝐷2

Xét ∆ADE và ∆CBF có : , AD = BC ,
Do đó ∆ADE = ∆CBF (g.c.g).

2
1
D

F

1
2

1

Hình 3.32

C

B

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.

2
b) Vì

Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D
cắt AB tại E và tia phân giác của góc B cắt CD tại F (Hình 3.32)
a) Chứng minh hai tam giác ADE và CBF là những tam giác
cân, bằng nhau.
b) Tứ giác DEBF là hình gì? Tại sao?

^
^ =^
^
𝐵 1= 𝐵
𝐷
=
2
1 𝐷2

E

A

mà

1

suy ra

Do đó DE // BF

Tứ giác BEDF có : BE //DF , DE // BF nên BEDF
là hình bình hành .

2
1
D

F

1
2

1

Hình 3.32

C

B

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo cạnh.

2

Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai
đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc
hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác ABCD (có các
đỉnh tại các điểm chia) như Hình 3.33 thì tứ giác ABCD là hình gì?
Tại sao?
A

B

 Đoạn dây xích được chia thành:
• Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là AB = CD
• Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là AD = BC
Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên tứ giác ABCD
là hình bình hành.

D

Hình 3.33

C

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo.
 Định lí 3 :
a) Tứ giác có các góc đối bằng nhau là một hình bình hành
b) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường là một hình bình hành .
A

B
O

 Câu hỏi : Hãy viết giả thiết,

kết luận của Định lí 3.

a)

D

b)

C

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo.

3

Trong ba tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành,
tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao ?
A

B

A

B

A

B

1100

Hình 3.34

D

a)

C

800

D

1000
b)

C

D

c)

C

• Tứ giác trong Hình 3.34a là hình bình hành ( theo Định lí 2a)
• Tứ giác trong Hình 3.34c là hình bình hành ( theo Định lí 3b)
• Tứ giác trong Hình 3.34b không là hình bình hành vì có 2
góc đối A, C không bằng nhau

2 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT .

 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành theo góc và đường chéo.

3

Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường
thẳng AB. Gọi A', B' là các điểm sao cho O là trung điểm của
AA', BB'. Chứng minh rằng A'B' = AB và đường thẳng A'B'
song song với đường thẳng AB.
B'

 Ta có hai điểm A, B phân biệt và điểm O không
nằm trên đường thẳng AB.
Mà O là trung điểm của AA', BB' nên O là trung
điểm của hai đường chéo của tứ giác ABA'B'.

A'
O

A

Do đó tứ giác ABA'B' là hình bình hành.
Suy ra A'B' = AB (định lí 1a) và A'B' // AB (định nghĩa hình bình hành).

B

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Trở lại bài toán mở đầu. Em hãy vẽ hình và nêu cách vẽ
con đường cần mở.
a

 Gọi điểm giao nhau giữa hai đường thẳng a và b là
điểm C.
Vẽ tia Cx đi qua điểm O. Trên tia Cx lấy điểm D sao
cho OC = OD (hay O là trung điểm của CD).

z

D

x

O

C

Qua D vẽ tia Dy // a cắt tia b tại B; vẽ Dz // b cắt a tại A.
Khi đó tứ giác ACBD có AC // BD; AD // BC nên là hình bình hành.
Suy ra hai đường chéo AB, CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Mà O là trung điểm CD nên O là trung điểm của AB, hay OA = OB.
Vậy con đường đi qua O sao cho OA = OB được mở như trên.

A

B
y

b

3.13

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào
sai? Vì sao?
a) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song là hình bình hành.
a) Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh song song.
Suy ra hình thang có hai cạnh bên song song thì hình này có hai cặp
cạnh đối song song.
Do đó hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không song song nên
không phải là hình bình hành.
Vậy khẳng định b) sai.
c) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng song song hay có hai cặp cạnh đối
song song nên tứ giác đó là hình bình hành.
Vậy khẳng định c) đúng.

3.14

Tính các góc còn lại của hình bình hành ABCD trong
Hình 3.35.
A

 Vì ABCD là hình bình hành nên

B

1000

Ta có : (tổng các góc của một tứ giác)
0 ^
0
^
10 0 + 𝐵+10 0 + 𝐵=36 0
0
0
^
2 𝐵+20 0 =36 0
0
0
0
^
2 𝐵=36 0 −20 0 =16 0
0

Suy ra

0 ^
^
𝐵=8 0 = 𝐷

Vậy các góc còn lại của hình bình hành ABCD là :

0 ^
0 ^
0
^𝐴=100 0 ; 𝐶=100
^
; 𝐵=80 ; 𝐷=80

?

?
D

?

Hình 3.35

C

3.15

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của AB, CD. Chứng minh BF = DE
A

E

B

 Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.
Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên
D

Do đó AE = BE = CF = DF.
Xét tứ giác BEDF có : BE = DF , BE // DF ( vì AB // CD)
nên tứ giác BEDF là hình bình hành
Suy ra BF = DE (đpcm).

F

C

3.16

Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình
hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?
A
100

B
0

D

80

a)

C

 Hình a : Tứ giác ABCD có :
Suy ra

750

0

1000

A

A

D

B
750

b)

C

B
700

1100

1100

D

0
^
^
^
^
𝐴+ 𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0

c)

C

0
0
0
0
0
0
^
^ 𝐶)=36
^
𝐷=36 0 −( ^
𝐴+ 𝐵+
0 −(10 0 +8 0 +10 0 )=8 0

Tứ giác ABCD có

0
0
^𝐴=𝐶=100
^
^
^
;❑ 𝐵= 𝐷=80

Nên tứ giác ABCD là hình bình hành

3.16

Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình
hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?
A

B

1000

D

750

0

80
1000

a)

C

 Hình b : Tứ giác ABCD có :

A

A

D

B
750

b)

C

B
700

1100

1100

D

c)

0
^
^
^
^
𝐴+ 𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0

C

0
0
0
0
0
0
^
^ 𝐷)=36
^
𝐵=36 0 −( ^𝐴+ 𝐶+
0 −(7 5 +7 5 +9 0 )=12 0
^
^≠^
Tứ giác ABCD có ^
𝐴=𝐶=10
0 0 ;❑ 𝐵
𝐷(8 00 ≠ 9 00 )

Suy ra

Nên tứ giác ABCD không phải là hình bình hành

3.16

Trong mỗi trường hợp sau đây, tứ giác nào là hình bình
hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao?
A

B

1000

D

80

a)

C

 Hình c : Tứ giác ABCD có :
Suy ra

750

0

1000

A

A

D

B
750

b)

C

B
700

1100

1100

D

0
^
^
^
^
𝐴+ 𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0

c)

C

0
0
0
0
0
0
^
^
𝐶=36
0 −( ^
𝐴+ ^
𝐵+ 𝐷)=36
0 −(7 0 +11 0 +11 0 )=7 0

Tứ giác ABCD có

0
0
^𝐴=𝐶=70
^
^
^
;❑ 𝐵= 𝐷=110

Nên tứ giác ABCD là hình bình hành

3.17

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành
b) EF = AD, AF = EC.
A

E

B

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.
Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên
Do đó AE = BE = CF = DF.
Xét tứ giác AEFD có : AE // DF (vì AB // CD) ; AE = DF
Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.
Xét tứ giác AECF có : AE // CF (vì AB // CD) ; AE = CF
Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.
Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

D

F

C

3.17

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành
b) EF = AD, AF = EC.
A

E

B

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.
Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.
Vậy EF = AD, AF = EC

D

F

C

3.18

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
Một đường thẳng đi qua O lần lượt cắt các cạnh AB, CD của hình
bình hành tại hai điểm M, N. Chứng minh ∆OAM = ∆OCN. Từ đó
suy ra tứ giác MBND là hình bình hành.
A

 Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên
OA = OC, OB = OD.
AB // CD nên AM // CN suy ra (so le trong)

M

B

O

D

N

C

Xét ∆OAM và ∆OCN có: , OA = OC , , do đó ∆OAM
= ∆OCN (g.c.g).
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)
Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.
Suy ra BM = DN.
Xét tứ giác MBND có: BM // DN (vì AB // CD) ; BM = DN nên nó là hình bình hành