HÌNH HỌC 8 - CTST

HÌNH THANG-HÌNH THANG CÂN

Mái ngói của trụ
sở Ủy ban nhân dân
Thành phố Hồ Chí
Minh có hình dạng
một tứ giác ABCD.
Nêu nhận xét của em
về hai cạnh AB và CD
của tứ giác này.

Bài 3. HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
1. Hình Thang- Hình thang cân
Tứ giác ABCD (Hình 1b) là hình
vẽ minh hoạ một phần của chiếc
thang ở Hình la. Nêu nhận xét của em
về hai cạnh AB và CD của tứ giác
này.
Nhận xét: Hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau.
Hình Thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

A

B

Hình 2 là hình thang ABCD với AB//CD. Ta
có:
- Các đoạn thẳng AB, CD gọi là các cạnh đáy
(hoặc đáy).
D
C
Nếu AB < CD thì AB là đáy nhỏ, CD là đáy
lớn.
- AH gọi là đường cao của hình thang.
- Các đoạn thẳng AD, BC là các cạnh bên.
- AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng CD, đoạn thẳng
AH gọi là đường cao của hình thang.

Bài 3. HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
1. Hình Thang- Hình thang cân
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Hình thang cân ABCD (hình
 = B,
 C
 =
D
3a) có A
Hình thang có một góc vuông
được gọi là hình thang vuông
(hình 3b).

Ví dụ 1. Tìm các góc chưa biết của hình thang ABCD có hai đáy là
AB và CD trong các trường hợp sau:
 = 900 và B
 = 40 0 ;
a) A

b) 
C =
D = 800

Giải
 = 900 nên là hình thang vuông.
a) Hình thang ABCD (AB//CD) có: A
Suy ra 
D = A = 900

 1800  ( B
 D
  A)
và C
= 1800  (900  90 0  40 0 )
= 1400

0


b) Hình thang ABCD (AB//CD) có C = D = 80 nên là hình thang cân.

Suy ra A = B = 1800  800 1000

Thực hành 1. Tìm các góc chưa biết của hình thang MNPQ có hai đáy
là MN và QP trong mỗi trường hợp sau và nêu nhận xét của em.
Giải

^
𝑄=90
°
a) Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có
Suy ra MNPQ là hình thang vuông.

^
⇒^
𝑀 =𝑄=90
°

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác, ta có: 



 3600  M
 N
 Q

P



3600  900  1250  900 
550

Thực hành 1. Tìm các góc chưa biết của hình thang MNPQ có hai đáy
là MN và QP trong mỗi trường hợp sau và nêu nhận xét của em.
Giải
Xét hình thang MNPQ (MN // QP) có
0


P Q  nên
110 là hình thang cân.
Suy ra 

0
0
0


M  N 360  220 140
0
140
0


M N 
70
2

0 
0

Vậy các góc chưa biết của hình thang MNPQ là  M 70 ; N 70

Hai góc kề một cạnh bên của hình thang có tổng số đo bằng 180 0

Vận dụng 1.  Một mặt tường của chân tháp cột cờ Hà Nội có dạng
, 
 C
 7500
A
hình thang cân ABCD (Hình 4). Cho biết  D
. Tìm số đo B
Giải
Hình thang cân ABCD có:
𝑜
^
^
𝐷=𝐶=7 5

nên

0
 D
)
360

(
C
 =B
 =
A
2

0
0
0
360

150
210
0


A=B=

105
2
2

A
D

B
C

Vận dụng 2: Tứ giác EFGH có các góc cho như
trong Hình 5.
a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang.
b) Tìm góc chưa biết của tứ giác.
Chứng minh
0

 = 180
+E
a) Ta có  EHF
 
(hai góc kề bù)
1
0
0
0
0


Suy ra E1 = 180  EHF 180  95 85

 =F
 850
Do đó  E
1

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên HE // GF.
Xét tứ giác EFGH có HE // GF nên là hình thang.

1

Vận dụng 2: Tứ giác EFGH có các góc cho như
trong Hình 5.
a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang.
b) Tìm góc chưa biết của tứ giác.
Chứng minh

1

b) Xét hình thang EFGH có: 
(tổng các góc của một tứ giác).
Suy ra

 

¿ 360 ° −(95 °+85 °+27 °)=153 °
Vậy góc chưa biết của tứ giác EFGH là .

a) Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là
AB và CD (AB > CD). Qua C vẽ đường thẳng
song song với AD và cắt AB tại E (Hình 6a).
   i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?
   ii) So sánh AD và BC
Trả lời

D

A

 =B

i) Xét hình thang cân ABCD (AB // DC) có: A
 =C
EB  (đồng vị).
Vì CE // AD nên  A

 =C
EB
Suy ra B
 =C
EB
Xét CEB, có: B

Do đó

Δ CEB

cân tại C.

C

E
Hình 6a)

B

a) Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là
D
C
AB và CD (AB > CD). Qua C vẽ đường thẳng
song song với AD và cắt AB tại E (Hình 6a).
   i) Tam giác CEB là tam giác gì? Vì sao?
   ii) So sánh AD và BC
E B
A
Trả lời
Hình 6a)
ii) Do Δ CEB cân tại C (câu i) nên CE = CB       (1)

  (hai góc so le trong của AD // CE)
= CED
X é t Δ ADE  v à ΔCED,c ó: ADE
 DE là cạnh chung


DEA
= EDC
(hai góc so le trong của DC // AB)

D 𝑜 đó Δ ADE  =  ΔCED (g . c . g)

Suy ra AD = CE (hai cạnh tương ứng)
Từ (1) và (2) ta có AD = BC

(2)

b) Cho hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ (Hình
6b). So sánh MP và NQ. Giải thích.
Trả lời
Q
P
b) Áp dụng kết quả của phần ii) câu a) ở trên cho
hình thang cân MNPQ ta có MQ = NP.
Xét hình thang cân MNPQ (MN // QP), có:



QMN
= PNM
Xét ΔMNQ và ΔMNP, có:

MQ = NP (chứng minh trên)



(chúng minh trên)
QMN
= PNM

MN là cạnh chung

D 𝑜 đó Δ MNQ  =  Δ NMP (c . g . c )

Suy ra NQ = MP (hai cạnh tương ứng)

M

Hình 6b)

N

Bài 3. HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
2. Tính chất của hình thang cân
Trong hình thang cân:
- Hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai đường chéo bằng nhau.
Ví dụ: Tìm các đoạn thẳng bằng nhau có trên hình thang cân EFGH
(EF//HG) trong Hình 7.
Giải
Hình thang cân EFGH có hai đáy là EF và HG
nên có:
- Hai cạnh bên bằng nhau EH = FG.
- Hai đường chéo bằng nhau EG = FH

Chú ý: nếu một hình thang là hình thang cân thì nó có hai cạnh bên
bằng nhau, nhưng một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì chưa
chắc là hình thang cân.
VD hình thang ABCD trong Hình 8 có hai
đáy là AB, CD và hai cạnh bên bằng nhau
AD = BC nhưng không phải là hình thang
cân vì hai góc kề đáy AB không bằng nhau.
Thực hành 2. Tìm các đoạn thẳng bằng
nhau trong hình thang cân MNPQ có hai
đáy là MN và PQ.
Trả lời
Vì MNPQ là hình thang cân nên ta có: MQ = NP;
QN = PM

Vận dụng 3. Một khung cửa
sổ hình thang cân có chiều
cao 3 m, hai đáy là 3 m và 1
m (Hình 9). Tìm độ dài hai
cạnh bên và hai đường chéo.
Giải
Áp dụng định lý pythagore cho
tam giác ADH ta có:
AD2 = DH2 + AH2
Tương
tự
ta
có:
AD2 = 1 + 9 = 10
AC2 = AH2 + HC2
=> AD = m
AC2 = 9 + 4 = 13
Vậy AD = BC = 10 (vì ABCD là hình Vậy AC = cm
thang cân)
=> AC = BD = cm

K

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB, CD và có hai đường chéo
bằng nhau (Hình 10). Vẽ đường thẳng đi qua C, song song với BD và
cắt AB tại E.
a) Tam giác CAE là tam giác gì? Vì sao?
b) So sánh tam giác ABD và tam giác BAC.

Trả lời
a) Xét hình thang ABCD có:
AB // CD hay AE // DC


nên  DCB
 (so le trong)
EBC

   (so le trong).
Do DB // CE nên  DBC
ECB
Xét  DCB và  EBC có:


DCB
EBC
(chứng minh trên);
CB là cạnh chung;

 (chứng minh trên).
DBC
ECB
Do đó  DCB =  EBC (g.c.g).
Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng)
Mà AC = BD (giả thiết)
Nên AC = CE.
Xét  ACE có AC = CE nên là tam giác cân tại C.

Trả lời
b) Do  ACE cân tại C (câu a)


CAE

CEB
nên  
(hai góc tương ứng).


DBA

CEA
Mặt khác DB // CE nên 
 (đồng
vị).
 DBA

CEA
CAE

Do đó 
Xét  ABD và  BAC có:
AB là cạnh chung;
 DBA

CAE
 (chứng minh trên);





BD = AC (giả thiết).
Do đó  ABD =  BAC (c.g.c).

Bài 3. HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
- Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Hình thang ABCD (AB//CD) trong hình 11c có hai hai đường
Hình
thang
MNPQ
EFGH
(EF//GH)
(PQ//MN)
trong
trong
hình
11amột
có
cóhai
hai
góc
kềchéo
một
chéo
AC
và BD
không
bằng nhau,
haihình
góc 11b
kề
đáyđường
không
đáy
HF
=bằng
GE nên
nhau
nên
hình
làthang
hình
cân.
bằng
nhau
nênlàkhông
phải thang
là
hìnhcân.
thang cân

Hình 12a) là hình thang cân.
Hình 12c) là hình thang cân.

Giải
+) Áp dụng định lí Pythagore vào  MHP
vuông tại H, ta có:
Suy ra
Do đó MH = 8 cm.
Áp dụng định lí Pythagore vào
vuông tại H, ta có:

PQ 10cm

Suy ra 
(cm).
MP NQ 8 2 cm
Vậy hình thang cân MNPQ có độ dài đường cao là ; độ dài cạnh bên là
MP = MQ = cm.

60 cm

6 1 cm

Giải Áp dụng định lí Pythagore vào  ADE vuông
A
?
B
tại E, ta có: AD2 = AE2 + DE2
Suy ra DE2 = AD2 – AE2 = 612 – 602 = 121 = 112
Do đó DE = 11 cm.
Kẻ BF ⊥ CD, khi đó BF là đường cao của hình
92 cm F C
E
D
thang cân ABCD nên BF = 60 cm.

 = 900
Xét ADE và  BCF có: AED
= BFC
AD = BC (do ABCD là hình thang cân);

ADE
=
BCF (do ABCD là hình thang cân)
Do đó ΔADE = ΔBCF (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra DE = CF = 11 cm (hai cạnh tương ứng).
Mà DE + EF + CF = DC Nên EF = DC–DE–CF = 92 – 11 – 11 = 70 cm.
Tương tự Vận dụng 4, trang 71, Sách giáo khoa Toán 8, tập một, ta
dễ dàng chứng minh được AB = EF = 70 cm.

Bài 3. Cho tam giác ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B
cắt AC tại M. Từ M kẻ đường vuông góc với AH và cắt AB tại N.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCMN là hình thang.
b) BN = MN
Chứng minh
a) Ta có nên
Tứ giác BCMN có nên là hình thang.


,
suy
ra
NMB

MBC
(so le trong)
b) Do
Mà  (do BM là tia phân giác của )
Suy ra 
Xét tam giác BMN có: nên tam giác BMN cân tại N
Suy ra .

Bài 1. Tìm x và y ở các hình sau.
Q

AB//CD

MN//PQ

HG//IK

Giải
• Hình 14a):
Ta có AB // DC nên tứ giác ABCD là hình thang.
Do đó B  C 1800

 1800  B
 1800  1400 400
Suy ra χ = C

Bài 1. Tìm x và y ở các hình sau.
Q

AB//CD

Giải

MN//PQ

HG//IK

• Hình 14b):
Ta có MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang.
 Q
 1800
M
Do đó 
 1800  Q
 1800  600 12000
Suy ra χ = M
 = 70 0 (so le trong)
Vì MN//PQ, suy ra y = P = N

Bài 1. Tìm x và y ở các hình sau.
Q

AB//CD

MN//PQ

HG//IK

Giải • Hình 14c):
Ta có HG // IK nên tứ giác GHIK là hình thang.
0




G
+
H
+
I
+
K
=
360
Do đó 
3x + 4x + x + 2x = 3600
10x = 3600
x = 3600 :10 360

Bài 1. Tìm x và y ở các hình sau.
Q

AB//CD

MN//PQ

HG//IK

Giải • Hình 14d):
Ta có VS ⊥ ST và UT ⊥ ST nên VS // UT.
Do đó tứ giác STUV là hình thang.
  V 1800
Suy ra U
Hay 2 x  x 1800
Nên 3x 1800. Suy ra x =1800 : 3 600

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AB = AD, BD là tia phân giác của góc B.
Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Chứng minh
Xét DABD có AB = AD nên là tam giác
cân tại A.
Suy ra 
ABD  
ADB (tính chât tam giác cân)
Vì BD là tia phân giác của góc B
 (tính chât tia phân giác cua môt góc)
Nên 
ABD CBD

Suy ra 
ADB =CBD
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
Xét tứ giác ABCD có AD // BC nên là hình thang.
Vậy ABCD là hình thang.