CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Khi xây tường gạch, người thợ thường bắt đầu với việc xây
các viên gạch dẫn, sau đó căng dây nhợ dọc theo cạnh của
các viên gạch dẫn đó để làm chuẩn rồi mới xây các viên
gach tiếp theo. Việc sử dụng dây căng như vậy có tác dụng
gì?
Toán học mô tả vị trí
giữa dây căng, các mép
gạch với mặt đất như
thế nào?”

CHƯƠNG VI. QUAN HỆ SONG SONG TRONG
KHÔNG GIAN
BÀI 12. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
SONG SONG

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1
2

ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI
MẶT PHẲNG

ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
VỚI MẶT PHẲNG

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI
MẶT PHẲNG

VIDEO 4

HĐ1
Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của
xà ngang, cột dọc, thanh chống và thanh bên của khung thành
với mặt đất.

Trả lời:

Từ hình vẽ ta thấy:
- Xà ngang nằm phía trên
và không có điểm chung
với mặt đất;
- Cột dọc thẳng đứng và có
1 điểm chung với mặt đất;

HĐ1
Quan sát hình ảnh khung thành bóng đá và nhận xét vị trí của
xà ngang, cột dọc, thanh chống và thanh bên của khung thành
với mặt đất.

Trả lời:

Từ hình vẽ ta thấy:
- Thanh chống nằm xiên và
có 1 điểm chung với mặt đất;
- Thanh bên nằm hoàn toàn
trên mặt đất, có vô số điểm
chung với mặt đất.

KẾT LUẬN
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Nếu d và (α) không có điểm chung thì ta
nói d song song với (α) hay (α) song song
với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) //d.

VIDEO 5

Ngoài ra:
- Nếu d và (α) có một điểm chung duy nhất M thì ta nói d và (α) cắt
nhau tại điểm M và kí hiệu d ∩ (α) = {M} hay d ∩ (α) = M.
- Nếu d và có nhiều hơn một điểm chung thì ta nói d nằm
trong hay chứa d và kí hiệu hay .

Small
Steps
Big
Progres
s

Curiosit
y Solves
Problem
s

Hãy chỉ ta một hình ảnh
đường thẳng song song
với mặt phẳng trong
bức ảnh bên.

Trả lời:
Quan sát hình ảnh đã cho ta thấy:
- Đường thẳng được tạo bởi
thanh ngang của cây cầu song
song với mặt nước lúc tĩnh lặng.

Ví dụ 1
Cho tứ diện ABCD. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện,
hãy cho biết
a) Đường thẳng AB cắt các mặt phẳng nào?
b) Đường thẳng AB nằm trong các mặt phẳng nào?
GIẢI:
a) Đường thẳng AB cắt các mặt
phẳng (ACD) và (BCD).
b) Đường thẳng AB nằm trong các
mặt phẳng (ABC) và (ABD).

LUYỆN TẬP 1
Trong Ví dụ 1, đường thẳng AC cắt các mặt phẳng nào, nằm
trong các mặt phẳng nào?
GIẢI:
- Đường thẳng AC cắt các mặt
phẳng: (BCD) và (ABD).
- Đường thẳng AC nằm trong mặt
phẳng: (ABC) và (ACD).

2.ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI
MẶT PHẲNG

HĐ2
Cho đường thẳng a không nằm trong mặt
phẳng (P) và a song song với đường thẳng b
nằm trong (P). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và
b (hình bên).
Nếu a và (P) cắt nhau tại điểm M thì M có thuộc (Q) và M có thuộc b hay
không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Trả lời:

- Vì a thuộc Q nên nếu a cắt (P) tại M, thì M thuộc giao tuyến của (P)
và (Q).
Vậy suy ra M thuộc b.

HĐ2
Cho đường thẳng a không nằm trong mặt
phẳng (P) và a song song với đường thẳng b
nằm trong (P). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và
b (hình bên).
Nếu a và (P) cắt nhau tại điểm M thì M có thuộc (Q) và M có thuộc b hay
không? Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Trả lời:
Kết luận: Nếu a không nằm trong (P) và song song với b thuộc (P)
thì a song song với (P) hay a và (P) không có điểm chung.

y

KẾT LUẬN

A
C

A
X
B

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt
phẳng (P) và song song với một đường
thẳng nằm trong (P) thì a song song với
(P).

A

B

C

Phát biểu trên còn đúng không nếu bỏ điều kiện
“a không nằm trong mặt phẳng (P)”?

Trả lời:
Phát biểu trên không còn đúng nếu bỏ điều kiện "a
không nằm trong mặt phẳng (P)".
Vì khi đó, có thể a thuộc mặt phẳng (P).

V=a3
a

Ví dụ 2
Cho ba đường thẳng a, b, c đôi
một song song với nhau và
không cùng nằm trong một mặt
phẳng (hình bên). Chứng minh
rằng đường thẳng a song song
với mp (b, c).
GIẢI:
Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng
nên đường thẳng a không nằm trong mp (b,c). Vì đường thẳng a
song song với đường thẳng b và đường thẳng b nằm trong mp
(b,c) nên đường thẳng a song song với mp(b, c).

LUYỆN TẬP 2
Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng đường thẳng c song song với mp
(a,b); đường thẳng b song song với mp (a,c).
GIẢI:
-

Ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng nên
đường thẳng b không nằm trong mp(a,c). Vì đường thẳng b song song
với đường thẳng a và đường đường thẳng a nằm trong mp(a,c) nên b
song song với mp(a,c).

-

Tương tự thì ta có: c song song với mp(a, b).

Ví dụ 3
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Chứng minh rằng có
một mặt phẳng chứa a và song song với b.
GIẢI:
Lấy điểm M bất kì thuộc a. Qua M kẻ đường
thẳng b' song song với b và đặt (P) = mp
(a,b").
Vì a và b chéo nhau nên đường thẳng b
không nằm trong mặt phẳng (P). Vì b song
song với bị nằm trong mặt phẳng (P) nên b
song song với (P). Vậy (P) là mặt phẳng
chứa a và song song với b.

CHÚ Ý
Ta có thể chứng minh rằng mặt phẳng (P) trong Ví dụ 3
là mặt phẳng duy nhất chứa đường thẳng a và song
song với đường thẳng b. Như vậy, cho trước hai
đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng
kia.

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

LUYỆN TẬP 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Hai đường
thẳng SD và AB có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa
đường thẳng SD và song song với AB.
GIẢI:
Ta có: SD và AB chéo nhau
Vì AB và SD chéo nhau nên AB không
nằm trong mp(SCD).
Vì AB // CD nên AB // mp(SCD).
Vậy (SCD) là mặt phẳng chứa SD và
song song với AB.

VẬN DỤNG
Trong tình huống mở đầu, hãy giải
thích tại sao dây nhợ khi căng thì
song song với mặt đất. Tác dụng
của việc đó là gì?

GIẢI:

- Dây nhợ được căng theo hàng gạch đầu tiên, các hàng gạch được xây
thẳng hàng và mỗi viên gạch đều có cách cạnh đối diện song song với nhau,
do đó mép trên của hàng gạch đầu là một đường thẳng song song với mặt
đất nên dây nhợ khi căng song song với mặt đất.
- Tác dụng của việc căng dậy nhợ để xây tường có độ thẳng, đứng và bằng.

HĐ3
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và (Q) là một mặt
phẳng chứa a. Giả sử (Q) cắt (P) theo giao tuyến b (Hình bên).
a) Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau không?
b) Hai đường thẳng a và b có thể cắt nhau không?

HĐ3
Trả lời:

a) Hai đường thẳng a và b đều nằm trong mặt phẳng (Q) nên hai
đường thẳng này không thể chéo nhau.
b) Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm I. Khi đó I ∈ (P)
vì I ∈ b và b ⊂ (P). Mặt khác I ∈ a nên a cắt (P) tại I (vô lí do a song
song với (P)). Vậy a // b hay hai đường thẳng a và b không thể cắt
nhau.

KẾT LUẬN
y

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng
(P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P)
theo giao tuyến b thì b song song với a.

x
2

a² + b² =
cy = 2
ax²+bx+c
2
x = -b²²²4ac

Ví dụ 4
Cho tứ diện ABCD, điểm E nằm giữa hai điểm A và C. Gọi (P) là một
phẳng qua E và song song với hai đường thẳng AB, CD. Xác định các
giao tuyến của (P) và các mặt của tử diện. Hình tạo bởi các giao
tuyến là hình gì?

Ví dụ 4
GIẢI:

Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng AB
song song với mặt phẳng (P) nên mặt
phẳng (ABC) cắt mặt phẳng (P) theo giao
tuyển song song với AB.
Vẽ EF // AB (F thuộc BC) thì EF là giao
tuyến của (P) và (ABC).
Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) cùng chứa
đường thẳng CD song song với mặt
phẳng (P) nên chúng cắt mặt phẳng (P)
theo giao tuyến song song với CD.

Ví dụ 4
GIẢI:

Vẽ EH, FG song song với CD (H thuộc AD, G
thuộc BD) thì EH, FG Iần lượt là giao tuyến
của mặt phẳng (P) với hai mặt phẳng (ACD),
(BCD).
Khi đó GH là giao tuyến của (P) và (ABD).
Mặt phẳng (ABD) chứa đường thẳng AB song
song với mặt phẳng (P) nên giao tuyến GH của
(ABD) và (P) song song với AB.
Tứ giác EFGH CÓ EF // GH (vì cùng song song
với AB) và EH // FG (VÌ cùng song song với CD)
nên nó là hình bình hành.

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

LUYỆN TẬP 4
Trong Ví dụ 4, gọi (Q) là mặt phẳng qua E và song song với hai
đường thẳng AB, AD. Xác định giao tuyến của (Q) với các mặt của
tứ diện.

LUYỆN TẬP 4
GIẢI:

Mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng AB
song song với (Q) nên mp(ABC) cắt mp(Q)
theo giao tuyến song song với AB.
Vẽ EF // AB (F thuộc BC) thì EF là giao
tuyến của (Q) và (ABC).
Hai mặt phẳng (ACD) và (ABD) cùng chứa
đường thẳng AD song song với (Q) nên
chúng cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến
song song với với AD.
Vẽ EK song song với AD (K thuộc CD) thì
EK, FK lần lượt là giao tuyến của mp(Q)
với hai mp(ACD) và (BCD).

TỔNG KẾT VÀ TRAO THƯỞNG

LUYỆN TẬP

Bài 4.16 (sgk – tr87)
Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P).
Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu a và (P) có điểm chung thì a không song song với (P).
b) Nếu a và (P) có điểm chung thì a và (P) cắt nhau.
c) Nếu a song song với b và b nằm trong (P) thì a song song với (P).
d) Nếu a và b song song với (P) thì a song song với b.

Bài 4.17 (sgk – tr87)
Cho hai tam giác ABC và ABD không cùng nằm trong một
mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,
AD.
a) Đường thẳng AM có song song với mặt phẳng (BCD) hay
không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng MN có song song với mặt phẳng (BCD) hay
không? Hãy giải thích tại sao.

Bài 4.17 (sgk – tr87)
GIẢI:
a) Ta có AM cắt (BCD) tại C suy ra
AM không song song với (BCD).
b) M, N là trung điểm của AC, AD
nên MN là đường trung bình của
tam giác ACD suy ra MN // CD.
Mà CD thuộc (BCD) nên MN //
mp(BCD).

VẬN DỤNG

Bài 4.18 (sgk – tr87)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng
minh rằng đường thẳng BD song song với mặt phẳng (AMN).

GIẢI:
M, N là trung điểm của BC, CD (gt)
suy ra MN // BD (t/c đường trung bình).
Ta có: BD không thuộc (AMN), MN thuộc
(AMN), MN // BD suy ra BD // (AMN)