NGUYÊN HÀM
I. Khái niệm nguyên hàm:
Định nghĩa:
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Chú ý:
Trong trường hợp K = [a;b], các đẳng thức F’(a) = f(a),
F’(b) = f(b) được hiểu là

hay

Cho hai hàm số f và F liên tục trên đoạn [a;b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên (a;b) thì có thể chứng minh được rằng
F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b)
Do đó F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a;b].
Ví dụ: chứng minh rằng hàm số

là một nguyên hàm của hàm số
Định lý 1:
Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó:
Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K.
Ngược lại, với mỗi hàm số G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K
ii. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
Các tính chất cơ bản
hay
Chú ý:
Nếu
thì
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số:





Vậy
Vậy
Vậy
Vậy
Bảng các nguyên hàm mở rộng
Vậy
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số:
Vậy
Xét
Xét
Phương pháp đồng nhất hệ số
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số:
Ta có
Cho x=0 thì a=1 , x=-1 thì c=-1 , x=1 thì b=-1
Do đó
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
I. Phương pháp đổi biến số:
Định lý 1:
Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là
thì:

Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm lượng giác hoặc hàm thì đặt
u = hàm theo x.
Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm theo x nhân với hàm log thì đặt u=hàm log
Một số cách đặt
Một số cách đặt
VD: tính
Đặt u = 1 – x => du = - dx
Vậy
Đặt u = 3 – x4 => du = - 4x3dx
Vậy
Đặt u = 1 + cos2x => du = ( - 2sinxcosx)dx
Vậy
Đặt
Đặt u = sinx – cosx => du = (sinx + cosx)dx
Vậy
Đặt
TH1:

Khi đó: Đặt

TH2:

Đặt:
Đặt x = sint => dx = costdt

Ta có
Đặt x = 2sint => dx = 2costdt

Ta có:
Đặt x = tant => dx = (1+tan2t)dt
Đặt u = sint => du = costdt
II. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
Định lý 2:
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
Vd: tính các nguyên hàm sau
Đặt
chọn
Đặt
Chọn
Đặt
Chọn
Đặt
Chọn
Đặt
Chọn
Đặt
Chọn
Đặt
Chọn
THÀNH VIÊN
Nguyễn Cao Lan Anh
Bùi Anh Châu
Lý Kiều Dung
Nguyễn Thị Thanh Vân