CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Toán 12
Bài toán vật lý
Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là hàm số có đạo hàm.
Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)
Trong thực tế có khi ta gặp bài toán ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t).
Từ đó ta có bài toán: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x)=f(x).
&1. NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm và tính chất :
1. Nguyên hàm :
a. Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của
f(x) trên K nếu F’(x) = f(x)
với mọi x thuộc K.

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những
hàm số nào?
a. F(x) = x2
b. F(x) = x2 + 3
c. F(x) = x2 - 4
d. Tất cả các hàm số trên
Hãy chọn phương án đúng
Nhận xét
Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng số tùy ý) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x Trên R.
Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số túy ý) đều là nguyên hàm của hàm số
trªn các khoảng x¸c ®Þnh.
Tổng quát ta có định lý:
b.Định lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K thì:
*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.
*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số.
F(x) + C (C thuéc R) gäi lµ hä c¸c nguyªn hµm cña f(x)
kí hiệu :
2.Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1 :

Tính chất 2 :

Tính chất 3 :
3. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
C
X + C
Sinx + C
- Cosx + C
Tanx + C
- cotx + C
VD: Tính nguyên hàm
Qua bài học ta đã biết
- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước.
Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm 1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C.
VD 2:
Chứng minh rằng:
Ta có :
Hàm số là nguyên

hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
c.
d.
2. Xác định a để hàm số là

một nguyên hàm của hàm số

trên
Ta có
Suy ra :
- a – 1 = 1
Vậy a = - 2
3. Cho và .

Xác định a, b để F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên
Suy ra :
GIẢI:
4. Xác định a, b, c sao cho hàm số
F(x)=(ax2+bx+c)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x)=(2x2-5x+2)e-x trên R.
Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
a.
b.
c.
d.
Bài tập:
Tìm F(x) biết và F(1)=3.
Hướng dẫn:
F(x)=x2+C
Mà F(1)=3  1+C=3C=2
Vậy F(x)=x2+2
II.PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số:
Định lý 1: Nếu
và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

b.Phương pháp:
B1: đặt u = u(x)
B2: tính du = u’(x)dx
B3: tính

VD: Tính các nguyên hàm sau:
1.

B1: Đặt u = 2x+1
B2: du = 2dx
B3:

VD: tính các nguyên hàm sau
2.

B1: Đặt
B2:
B3:

VD: tính các nguyên hàm sau
2.

B1: đặt
B2:
B3:

Cách 2
VD: Tính các nguyên hàm sau
3.

B1: đặt
B2:
B3: