Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến
ôn tập học kì I Hình học 10
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì
a) Chứng minh rằng:
Giải
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF. CMR
Giải
Ta có:
(Vì O là trung điểm EF)
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì
b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF. CMR
Giải
Ta có:
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
2. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC kéo dài IB=3IC.
a) Tính AI theo các vectơ AB và AC
A
B
I
C
Giải
Ta có
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
2. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC kéo dài IB=3IC.
b) Gọi J, K lần lượt là những điểm trên AC, AB sao cho JA=2JC và KB=3KA. Tính JK theo AB và AC
A
B
I
C
Giải
Ta có
J
K
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Biến đổi vế này ra vế kia
Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết đúng.
Biến đổi đẳng thức vectơ biết trước tới đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ minh
2. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC kéo dài IB=3IC.
c) Tính BC theo AI và JK
A
B
I
C
Giải
Ta có
J
K
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
II. Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương
hay
Ví dụ minh
1. Cho tam giác ABC, Lấy các điểm M, N, P sao cho
Tính MP, MN theo AB và AC. Suy ra M, N, P thẳng hàng.
A
B
M
C
P
N
Giải
Ta có:
Vậy:
Đẳng thức này chứng tỏ M, N, P thẳng hàng.
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
II. Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC cùng phương
hay
Ví dụ minh
2. Trong hệ toạ độ Oxy cho bốn điểm A(1;-2), B( (0; 3), C(-3; 4) và D(-1; 8). Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng?
Giải
Từ các đẳng thưc trên ta có:
Vậy A, B, D thẳng hàng.
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
Hãy biểu diễn vectơ qua
hai vectơ
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Giả sử:
Khi đó ta có:
Vậy
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
2. Cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1),C(3; 3)
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Giả sử D=(x; y). Khi đó ta có
Vậy D=(-3; -3).
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
2. Cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1),C(3; 3)
b) Tìm toạ độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành.
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Giả sử E=(x; y). Khi đó ta có
Vậy toạ độ điểm E= (4; 7)
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
3. Cho ba điểm A(0;-4),B(-5;6),C(3; 2)
Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Có
Vậy A, B, C không thẳng hàng hay A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
3. Cho ba điểm A(0;-4),B(-5;6),C(3; 2)
Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.
Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Ta có
Vậy trọng tâm G= (-2/3; 4/3)
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
III. Bài toán liên quan đến toạ độ điểm và vectơ.
1. M là trung điểm của đoạ thẳng AB khi đó ta có:
Ví dụ minh
4. Cho tam giác ABC với A(-1; 1), B(5; -3), đỉnh C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox. Tìm toạ độ điểm C và điểm G.
2. G là trong tâm của tam giác ABC khi đó ta có:
Giải
Do C thuộc Oy nên C=(0; y) và G thuộc Ox nên G=(x; 0).
Theo đầu bài ta có
Vậy toạ độ điểm C=(0; 2) và toạ độ điểm G=(4/3; 0).
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
IV. Giá trị lượng giác của một góc bất kì.
Ví dụ minh
1. Cho 900 < x < 1800 và cos x = -1/3. Hãy tính các giác trị lượng giác còn lại.
Giải
Do 900< x < 1800 nên ta có sin x > 0, tan x < 0, và cot x < 0.
1. Định nghĩa giá trị lượng giác của một góc bất kì
2. Dấu của các giá trị lượng giác của các góc.
3. Liên hệ giá trị lượng giác của các góc bù nhau.
4. Các hằng đẳng thức lượng giác
a) sin2 x + cos2 x = 1
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
2. Cho hai điểm A(-3; 2) và B(4; 3). Tìm
Điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
N thuộc Oy sao cho NA=NB.
a) Điểm M thuộc Ox nên M=(x; 0).
Tam giác ABM vuông tại M khi và chỉ
khi
?(x+3)(x - 4) +(-2).(-3)=0 ?x2-x-6=0
PT có hai nghiệm x=3 và x= -2.
Vậy có hai điểm cần tìm M1(-2;0), M2(3;0)
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
2. Cho hai điểm A(-3; 2) và B(4; 3). Tìm
Điểm M thuộc Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
N thuộc Oy sao cho NA=NB.
b) Điểm N thuộc Oy nên N=(0; y). Khi
đó
NA2 = NB2
? (0 + 3)2 + (y - 2)2 = (0 - 4)2 + (y - 3)2
? 9 + y2 - 4y + 4 = 16 + y2 - 6y + 9
? y=6
Vậy N= (0; 6).
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
Vậy chu vi
Ta có
Vậy diện tích tam giác bằng:
3. Cho ba điểm A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4)
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
ôn thi học kì I
V. Tích vô hướng của hai vectơ
Ví dụ minh
1. Định nghĩa
2. Biểu thức toạ độ của tích vô
hướng
3. Độ dài vectơ và góc hai vectơ.
Giải
3. Cho ba điểm A(-1; 1), B(3; 1), C(2; 4)
b) Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC.
Gọi H =(x; y) là trực tâm tam giác ABC
Ta có
Vậy toạ độ trực tâm H = (2; 2)
Trần Trọng Tiến
THPT Đình Lập
Củng cố
Qua bài học học sinh cần nắm được:

Phương pháp chứng minh một đẳng thức vectơ.
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Biểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
Chứng minh tam giác vuông.
Tìm các yếu tố khác của tam giác.
..........