Bài 4 :

phương trình tổng quát của mặt phẳng
( Tiết 1)
Câu hỏi 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy. Cho biết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mo= (xo, yo) và có 1 vectơ pháp tuyến n =(A,B).
Câu hỏi 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm
P(1,-1,0); Q(2,0,-2); R(3,1,-2).
a/ Chứng minh 3 điểm P,Q,R lập thành một tam giác.
b/ Cho điểm M(-3,-5,0). Chứng minh M đồng phẳng với
P,Q,R.
Đáp án 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm Mo= (xo, yo) và có 1 vectơ pháp tuyến n =(A,B) là .
(?) A(x-xo) + B(y-yo) = 0. (A2 + B2 ? 0)
? Ax + By + C = 0 Với C =-Axo-Byo
(?)
n
•
M0 (xo, yo)
•
M (x, y)
Đáp án 2: a/
Ta có :
Vậy 3 điểm P,Q,R không thẳng hàng, hay P,Q,R lập thành một tam giác.
b/ Ta có :
Vậy 3 vectơ : đồng phẳng. Suy ra 4 điểm
P,Q,R,M đồng phẳng.
()
P
Q
R
M(x,y,z)
n =(A,B,C)
Điều kiện để điểm M(x,y,z)
di động trong không gian thuộc mp (?) là gì ?
()
P
Q
R
M(x,y,z)
n =(A,B,C)
Điều kiện để điểm M(x,y,z)
di động trong không gian thuộc mp (?) là gì ?
Điều kiện là : PM ? n ? PM . n =0
()
P
Q
R
n =(A,B,C)
(?)
n =(A,B)
•
Mo (xo, yo)
•
M(x, y)
Do MoM? n ? MoM . n =0 ? A(x-xo) + B(y-yo) = 0. ? Ax + By + C = 0 Với C =-Axo-Byo
1.
2.
Do PM ? n ? PM . n =0
M(x,y,z)
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
.
Mo
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
.
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
.
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
.
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
. Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
.
Mo
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
. Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
.
Mo
.
M
n
(? )
kn
Bài 4 : phương trình tổng quát
của mặt phẳng ( Tiết 1)
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
a/ Định nghĩa : Cho vectơ n ( n ? 0 ) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (? ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (? )
. Nhận xét :
- Nếu vectơ n là vectơ pháp tuyến, thì vectơ k n ( k ? 0) cũng là vectơ pháp tuyến.
- Mặt phẳng (? ) hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó, và một vectơ pháp tuyến của nó.
.
Mo
.
M
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
b/ Chú ý :
u
v
n
(? )
v
u
b/ Chú ý :
u
v
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n
b/ Chú ý :
u
v
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n = [u , v ] =
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?) ( u , v còn được gọi là một cặp vectơ chỉ phương của (?) ).
n
u
v
(? )
(? )
(?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
M ?
N?

u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
(? )
(? )
(? )
u
v
u
v
(? )
(? )
(?)
n
1. n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
u
(? )
(? )
n
M
N
2. n = [MN , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
(? )
(? )
(? )
u
v
n
3 n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (?)
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
n
(A , B , C)
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
CM : ? ) Giả sử mặt phẳng (?)
qua Mo và có vectơ pháp tuyến
là n .
n
(A , B , C)
(? )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Trong không gian cho mặt phẳng Oxyz. a/ Định lí : Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x,y,z) thoả mãn một phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ).
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Ngược lại : tập hợp các điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng
CM : ? ) Giả sử mặt phẳng (?)
qua Mo và có vectơ pháp tuyến
là n ,
n
(A , B , C)
Lấy M (x , y , z) . Ta có : M? (?) ? MoM ? n ? MoM . n = 0
? A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
? Ax + By + Cz - (Axo + Byo + Czo ) = 0 Đặt D= - (Axo + Byo + Czo )
? Ax + By + Cz + D = 0 ( Dạng * )
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
(A , B , C)
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Thật vậy: Cố định điểm Mo(0,0,-D/C) thoả mãn (*), (giả sử C ? 0) và n = (A,B,C). Ta lấy M(x,y,z) bất kì thoả mãn (*).
(A , B , C)
CM : ? )
Ngược lại : Cho phương trình (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ). Ta CM tập hợp những điểm thoả mãn (*) là một mặt phẳng.
(? )
n
.
Mo
M
(xo , yo , zo)
(x , y , z)
Thật vậy: Cố định điểm Mo(0,0,-D/C) thoả mãn (*), (giả sử C ? 0) và n = (A,B,C). Ta lấy M(x,y,z) bất kì thoả mãn (*).
(A , B , C)
Khi đó : MoM . n = Ax + By + C(z + D/C) = Ax + By + Cz + D = 0 Vậy M thuộc mặt phẳng (?) qua Mo và nhận n là vectơ pháp tuyến.
b/ Định nghĩa : Phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
b/ Định nghĩa : Phương trình dạng : (*) Ax + By + Cz + D = 0. ( Với A2+ B2+ C2 ? 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
c/ Chú ý : - Nếu mặt phẳng (?) qua Mo(xo,yo,zo) và có một vectơ pháp tuyến là n = (A,B,C) thì phương trình của nó là:


. Nếu mặt phẳng (?) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì vectơ n = (A,B,C) là một vectơ pháp tuyến của (?) .
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
N
M
I
(?)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ta có : Mặt phẳng (?) đi qua trung điểm I=(1,1,0) và nhận vectơ MN = (-2,3,0) là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
- 2(x-1)+3(y-1)+0 = 0 ? 2x-3y+1 = 0.


N
M
I
(?)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 2 điểm : M=(2 ,-1/2 , 0) ; N = (0, 5/2 , 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực (?) của đoạn thẳng MN.
LG:
Ta có : Mặt phẳng (?) đi qua trung điểm I=(1,1,0) và nhận vectơ MN = (-2,3,0) là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
- 2(x-1)+3(y-1)+0 = 0 ? 2x-3y+1 = 0.


O
.
z
(0,0,1) k
N
M
I
(?)
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
Ta có : AB=(-2,-2,0) AC=(2, -3,0)
n= [AB,AC] = (0,0,10) Mặt phẳng (?) đi qua A(1,2,-2) và nhận n là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
z + 2 = 0


Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm : A(1,2,-2) ; B(-1,0,-2) ; C(3,-1,-2) . Lập phương trình mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
LG:
()
A
B
C
n
O
y
x
Ta có : AB=(-2,-2,0) AC=(2, -3,0)
n= [AB,AC] = (0,0,10) Mặt phẳng (?) đi qua A(1,2,-2) và nhận n là vectơ pháp tuyến. Suy ra phương trình (?) là :
z + 2 = 0


Tổng kết :
u
v
n
(? )
v
u
- Nếu u = (x1 , y1 , z1), v = (x2 , y2 , z2) là 2 vectơ không cùng phương, và 2 đường thẳng chứa chúng song song ( hoặc nằm trên) mặt phẳng (?) thì vectơ :
a
b
n = [u , v ] là vectơ pháp tuyến của (?)
A(x-xo) + B(y-yo) + C(z-zo ) = 0.
- Nếu mặt phẳng (?) qua Mo(xo,yo,zo) và có một vectơ pháp tuyến là n = (A,B,C) thì phương trình của nó là:

()
Mo (xo, yo,z0)
n =(A,B,C)
(?)
n =(A,B)
•
M (xo, yo)
•
N (x, y)
(?) A(x-x0)+B(y-yo) =0 (A2 + B2 ? 0)
Phương trình mặt phẳnh thẳng trong hệ toạ độ Oxyz
•
Phương trình đường thẳng trong hệ toạ độ Oxy
(?) A(x-x0)+B(y-yo)+C(z-zo) =0
Với (A2 + B2+ C2 ? 0)
? Ax + By + Cz + D = 0.
? Ax + By + C = 0.
Bài tập về nhà :
? Bài tập sách giáo khoa : 2,3,5,8 / trang 82,83
? Bài tập làm thêm :
1. Cho 2 mặt phẳng :
(?) : 2x + y - 3z + 1 = 0
(? ) : -x +4 y + 1 = 0
và điểm M=(0,-4,1).
Lập phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với
(?) và (? )