• Cho 2 điểm phân biệt cố định F1 và F2 . Đặt
Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao
cho được gọi là đường hypebol
• Hai điểm F1 và F2 được gọi là hai tiêu điểm và được gọi là
tiêu cự của hypebol đó.
 Chú ý : Hypebol có 2 nhánh , một nhánh gồm
những điểm M thoả mãn và nhánh còn lại
gồm những điểm M thoả mãn

Hình 7.23

3

Trên biển có hai đảo hình tròn với bán kính khác nhau. Tại vùng
biển giữa hai đảo đó, người ta xác định một đường ranh giới
cách đều hai đảo, tức là đường mà khoảng cách từ mỗi vị trí
trên đó đến hai đảo bằng nhau. Hỏi đường ranh giới đó có
thuộc một nhánh của hypebol hay không?

Giả sử đảo thứ nhất có tâm O1 và bán kính R1, đảo thứ
hai có tâm O2 và bán kính R2
Do 2 đường tròn nằm ngoài nhau nên
Gọi M là một điểm bất kì thuộc đường ranh giới, vì M
cách đều 2 đảo nên

MO1 - R1 = MO2 - R2

Hình 7.24

Û MO1 - MO2 = R1 - R2

Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh của hypebol với tiêu điểm F 1 trùng O1,
F2 trùng O2, ,

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm
của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A,
B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

LUYỆN TẬP

3

B

C

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD.
Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,
CD nên ,
Do đó :

(*)

N

M

A

Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1).
Tương tự AN = CM (2) và BN = MC (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).
Từ (*) và (**) ta có: |BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN
Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

D

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, hypebol có 2 tiêu điểm thuộc trục
hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối 2 tiêu điểm đó thì có
phương trình
x2 y 2

a

2

-

b

2

= 1 (a > b > 0)

(4)

 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4) đều là phương trình của
hypebol có 2 tiêu điểm
tiêu cự và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm
thuộc hypebol đó tới 2 tiêu điểm bằng 2a.
 Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol.

4

Cho hypebol có phương trình chính tắc
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới 2
tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu ?

2
ì
ï
 Ta có : ï a = 9
í 2
ïï b = 16
î

Þ c = a 2 - b2 = 5

Vậy hypebol có 2 tiêu điểm là và tiêu cự
Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới 2 tiêu điểm
có giá trị tuyệt đối bằng

Cho hypebol
LUYỆN TẬP

4

Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H)

2
ì
ï
 Ta có : ï a = 144
í 2
ïï b = 25
î

Þ c = a 2 - b 2 = 13

Vậy hypebol có 2 tiêu điểm là
và tiêu cự

Cho hypebol có phương trình :

7.20
Ta có :

Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

ìï a 2 = 7
ïí
ïï b 2 = 9
î

2

2

Þ c = a - b =4

Do đó hypebol có các tiêu điểm là F1 (- 4;0) , F2 (4;0)
Tiêu cự :

2c = 2.4 = 8