Ví dụ:
a) Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình x2−2=0?
b) Giải phương trình x2+1=0.
Giải:
a) x2−2=0  x=±

Phương trình có thể có nghiệm trên tập này nhưng lại vô nghiệm trên tập kia.
b) x2+1=0  x2= −1: vô nghiệm trên tập 
Đặt i2 = −1, ta được x2=i2  x=±i
Phương trình có nghiệm trên tập số phức.
Một số phức là biểu thức có dạng a+bi, trong đó a, b và số i thỏa i2=−1, ký hiệu số phức đó là z=a+bi.
i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z.
Nếu b=0 thì z, do đó 
Nếu a=0 thì z được gọi là số thuần ảo
Hai số phức z=a+bi và z’=a’+b’i là bằng nhau nếu a=a’ và b=b’. Ký hiệu z=z’
Định nghĩa:
Mỗi số phức z=a+bi (a, b) được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng tọa độ. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức z=a+bi.
Gốc tọa độ O biểu diễn điểm z=0.
Các điểm trên trục Ox biểu diễn các số thực và phần thực của số z=a+bi. Trục Ox được gọi là trục thực.
Các điểm trên trục Oy biểu diễn các số thuần ảo. Trục Oy được gọi là trục ảo.
Biểu diễn các số phức z=−2;z=3i;z=2−i
Ví dụ:
Cho z=a+bi, z’=a’+b’i, ta có:
Tính giao hoán : z+z’=z’+z
Tính kết hợp : z+(z’+z’’)=(z+z’)+z’’
Cộng với 0 : z+0=0+z=z
Số đối : Số z=a+bi có số đối là −z=−a−bi
z+z’=(a+a’)+(b+b’)i
z−z’=a−a’+(b−b’)i
Các tính chất của phép cộng các số phức:
Cho z=−1+3i, z’=−1−i. Tính z+z’, z−z’.
Ví dụ:
Cho z=a+bi, z’=a’+b’i, ta có:
Tính giao hoán : zz’=z’z
Tính kết hợp : (zz’)z’’=z(z’z’’)
Nhân với 1 : 1.z=z.1=z
Tính phân phối : z(z’+z’’)=zz’+zz’’
zz’=aa’−bb’+(ab’+a’b)i
kz=ka+kbi với kℝ
Các tính chất của phép nhân các số phức:
a) Tính zz’ biết:
Ví dụ:
a1) z=1−2i, z’=3−i
a2) z=2−i, z’=2+i
b) Cho z=2+3i. Tính 5z;−2z.
c) Phân tích z2+4 thành nhân tử.
d) Cho z=x+yi. Tính z2 và tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho z2 là số thực.
Số phức liên hợp của số phức z=a+bi (a, b) là 
Ta có các công thức: 
Môđun của số phức z=a+bi là |z|= 
Nếu z thì |z|=|a|
z=0 Û |z|=0
Biểu diễn số phức 1+2i và số phức liên hợp của nó. Nhận xét.
Tìm|i|;|3+2i|
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z mà |z|=1 là gì? 
Ví dụ:
Cho số phức z=a+bi (a, b) khác 0, ta có:
a) Tìm
Ví dụ:
Nên số nghịch đảo của số phức z≠0 là số z−1=
Nếu z≠0 thì 
b) Cho (1+2i)z=3z−i, tìm z?