CHÀO MỪNG TẤT CẢ
CÁC EM ĐẾN VỚI
TIẾT HỌC!

KHỞI ĐỘNG
Xét bài toán cổ sau:
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi,
Còn cam, mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành.
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
Trong bài toán này có hai đại lượng chưa biết (số cam và số quýt). Vậy ta có
thể giải bài toán đó tương tự ”giái bài toán bằng cách lập phương trình” được
hay không?

CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Phương trình

2. Hệ hai phương trình

bậc nhất hai ẩn

bậc nhất hai ẩn

1. PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

 HĐ1: Câu “Quýt, cam mười bảy quả tươi” có nghĩa là tổng số
cam và số quýt là 17. Hãy viết hệ thức với hai biến và biểu
thị giả thiết này.
Giải:

Hệ thức với hai biến và biểu thị giả thiết trên là

 HĐ2: Tương tự, hãy viết hệ thức với hai biến và biểu thị giả thiết
cho bởi các câu thơ thứ ba, thứ tư và thứ năm.
Giải:

- Một quả quýt được chia làm 3 miếng hay đại lượng biểu thị là
- Một quả cam được chia làm 10 miếng hay đại lượng biểu thị là .
- Biểu thức liên hệ là: .

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn và là hệ thức dạng

Trong đó và là các số đã biết ( hoặc ).
• Nếu tại và ta có là một khẳng định đúng thì cặp số được gọi là một
nghiệm của phương trình .

Ví dụ 1.
a) Trong các hệ thức , hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Hệ thức nào không là
phương trình bậc nhất hai ẩn?
b) Trong các cặp số và cặp số nào là nghiệm của phương trình ?
Giải:
a) Cả ba hệ thức đều có dạng . Nhưng chỉ có hai hệ thức và

thoả mãn điều kiện hoặc

nên là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ thức có , không thoả mãn điều kiện trên nên hệ thức đó không phải là phương trình bậc
nhất hai ẩn.

Ví dụ 1.
a) Trong các hệ thức , hệ thức nào là phương trình bậc nhất hai ẩn? Hệ thức nào không là
phương trình bậc nhất hai ẩn?
b) Trong các cặp số và cặp số nào là nghiệm của phương trình ?
Giải:
b) Cặp số là một nghiệm của phương trình , vì

Cặp số không là nghiệm của phương trình , vì

Luyện tập 1
Hãy viết một phương trình bậc nhất hai ẩn và chỉ ra
một nghiệm của nó.
Giải:
Phương trình bậc nhất hai ẩn: có một nghiệm là .

Ví dụ 2.

Giả sử là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Hoàn thành bảng sau đây:

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.
b) Biểu diễn theo . Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?
Giải:

a) Ta có:

( )

( )

7
5
V ậ y  5  nghi ệ m   c ủ a   ph ươ ng   tr ì nh  đã  cho   l à: −2 ; ,(−1 ;3), 0 , ,(3 ;1),(1 ;2).
2
2

Ví dụ 2.

Giả sử là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Hoàn thành bảng sau đây:

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.
b) Biểu diễn theo . Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?
Giải:

5−𝑥
b )  Ta   c ó 𝑦 =
2

Với mỗi giá trị tuỳ ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị tương ứng.
Do đó phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Chú ý: Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.

Ví dụ 3.

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình
bậc nhất hai ẩn sau: a)

b)

c)

Giải:
a) Xét phương trình

(1)

Ta viết (1) dưới dạng Mỗi cặp số với tuỳ ý, là một nghiệm của (1).
Khi đó ta nói phương trình (1) có nghiệm (tổng quát) là:
với tuỳ ý
Mỗi nghiệm này là toạ độ của một điểm thuộc đường thẳng
Ta cũng gọi đường thẳng này là đường thẳng

Ví dụ 3.

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình
bậc nhất hai ẩn sau: a)

b)

c)

Giải:
Để vẽ đường thẳng , ta chỉ cần xác định
hai điểm tuỳ ý của nó, chẳng hạn và rồi
vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó
(H.1.1a).

Giải:
b) Xét phương trình

(2)

Ta viết gọn (2) thành
Phương trình (2) có nghiệm là với

tuỳ ý.

Mỗi nghiệm này là toạ độ của một điểm thuộc
đường thẳng song song với trục hoành và cắt
trục tung tại điểm
Ta gọi đó là đường thẳng (H.1.1b).

Giải:

c) Xét phương trình

(3)

Ta viết gọn (3) thành . Phương trình (3) có
nghiệm là với tuỳ ý.
Mỗi nghiệm này là toạ độ của một điểm
thuộc đường thẳng song song với trục tung
và cắt trục hoành tại điểm
Ta gọi đó là đường thẳng (H.1.1c).
Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn phương
trình bậc nhất hai ẩn là một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng .

Luyện tập 2
Giải:

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau: a)

2
5
Ta   c ó: 𝑦 = 𝑥 −
3
3

(

)

2 5
V ậ y  nghi ệm  t ổng  qu á t  c ủ a  ph ươ ng   tr ì nh  l à 𝑥; 𝑥− v ớ i 𝑥∈ℝ .
3 3
Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ của

Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

Luyện tập 2
Giải:

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau: b)

Ta  có: 𝑦=3.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
với .
Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ của
một điểm thuộc đường thẳng song song với
trục hoành và cắt trục tung tại điểm .
Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

Luyện tập 2

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau: c)

Giải:
Ta có: .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
với .
Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ của
một điểm thuộc đường thẳng song song với
trục tung và cắt trục hoành tại điểm .
Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

2. HỆ HAI
PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của nó
1. Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn và được gọi là một hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:

2. Mỗi cặp số được gọi là một nghiệm của hệ nếu nó đồng thời là nghiệm của
cả hai phương trình của hệ .

Chú ý: Mỗi nghiệm của hệ chính là một nghiệm chung của hai phương trình
của hệ .

Ví dụ 4.

Trong các hệ phương trình sau, hệ nào không phải là hệ hai phương trình
bậc nhất hai ẩn? Vì sao?
a)

b)

c)

Giải:
Hệ phương trình b) không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,
vì phương trình thứ hai của hệ là không phải là phương trình bậc nhất hai
ẩn.

Ví dụ 5.

Giải thích tại sao cặp số là một nghiệm của hệ phương trình

Giải:
Ta thấy khi và thì:
•

nên là nghiệm của phương trình thứ nhất;

• nên là nghiệm của phương trình thứ hai.
Vậy là nghiệm chung của hai phương trình, nghĩa là là một nghiệm của
hệ phương trình đã cho.

o Chú ý
Trong Ví dụ 5, cặp số là nghiệm của
hệ phương trình đã cho có nghĩa là
điểm vừa thuộc đường thẳng , vừa
thuộc đường thẳng . Vậy là giao điểm
của hai đường thẳng và (H.1.2).

Luyện tập 3

Trong hai cặp số và cặp số nào là nghiệm của hệ phương
trình

Giải:
• Ta thấy, khi và thì
nên là nghiệm phương trình thứ nhất
nên không là nghiệm của phương trình thứ hai
Vậy không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
• Ta thấy và thì:
nên là nghiệm phương trình thứ nhất
nên là nghiệm của phương trình thứ hai
Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

VẬN DỤNG
Xét bài toán cổ trong tình huống mở đầu. Gọi là số cam, là số quýt cần
tính ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

Trong hai cặp số và cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình trên? Từ đó
cho biết một phương án về số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu của bài
toán cổ.

Giải:
• Ta thấy, khi và thì
nên là nghiệm phương trình thứ nhất
nên ( không là nghiệm của phương trình thứ hai
Vậy không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
• Ta thấy và thì:
nên là nghiệm phương trình thứ nhất
nên là nghiệm của phương trình thứ hai
Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Một phương án về số cam và số quýt thỏa mãn yêu cầu là: 7 quả cam và 10 quả quýt.

LUYỆN
TẬP

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất
hai ẩn?
A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 2. Cặp số nào sau đây là nghiệm của
phương trình ?
A. .
C.

B. .
D. .

Câu 3. Nghiệm tổng quát của phương trình là:

Câu 4. Cặp số là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. .
C. .

B. .
D. .

Câu 5. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6. Cặp số là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây:
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài tập
Bài 1.1 (SHS-tr10) Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
Vì sao?
a)

b)

c)

d)

Giải:
Phương trình không là phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai hệ số của và đều
bằng .
Các phương trình còn lại đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 1.2 (SHS-tr10) a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu trong bảng sau rồi cho
biết 6 nghiệm của phương trình

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Giải:
a)

Sáu nghiệm của phương trình đã cho là : , , , , , .

Bài 1.2 (SHS-tr10) a) Tìm giá trị thích hợp thay cho dấu trong bảng sau rồi cho
biết 6 nghiệm của phương trình

b) Viết nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Giải:
b) Ta có : .
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là với tùy ý.

Bài 1.4 (SHS-tr10) Cho hệ phương trình
a) Hệ phương trình trên có là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không? Vì sao?
b) Cặp số có là một nghiệm của hệ phương trình đã cho hay không? Vì sao?

Giải:
a) Hệ đã cho là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vì cả hai phương trình của
hệ đã cho đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Ta thấy và thì:
nên là nghiệm phương trình thứ nhất;
nên là nghiệm của phương trình thứ hai.
Vậy là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

VẬN
DỤNG

Bài 1.3 (SHS-tr10) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
Giải:

a)

Ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
với .
Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ của
một điểm thuộc đường thẳng .
Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

Bài 1.3 (SHS-tr10) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
Giải:

b)

Ta có:

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình
là với .
Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ
của một điểm thuộc đường thẳng song
song với trục hoành và cắt trục tung tại
điểm .
Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

Bài 1.3 (SHS-tr10) Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi
phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
Giải:

5
Ta  c ó: 𝑥=
3

c)

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Mỗi nghiệm của phương trình là tọa độ của
một điểm thuộc đường thẳng song song với
Ta có hình biểu diễn nghiệm của phương
trình đã cho là:

Bài 1.5 (SHS-tr10) Cho các cặp số và hai phương trình
,

(1)
(2)

Trong các cặp số đã cho:
a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?
b) Cặp số nào là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và
phương trình (2)?
c) Vẽ hai đường thẳng và trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết
luận ở câu b.

Giải:

a)

• Với và ta có nên không là nghiệm của phương trình (1).
• Với và ta có nên là nghiệm của phương trình (1).
• Với và ta có nên không là nghiệm của phương trình (1).
• Với và ta có nên không là nghiệm của phương trình (1).
• Với và ta có nên là nghiệm của phương trình (1).
Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là và .

Giải:

b)

• Với và ta có
nên không là nghiệm của phương trình
(2).
• Với và ta có
nên là nghiệm của phương trình (2).
Vậy cặp là nghiệm chung của (1) và (2)
nên là nghiệm của hệ (1) và (2).

c)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài
 Hoàn thành bài tập trong SBT
 Chuẩn bị bài sau “Giải hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn”

CẢM ƠN TẤT CẢ CÁC EM
ĐÃ THAM GIA TIẾT HỌC!