§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
NGUYỄN VĂN XÁ
GV. THPT YÊN PHONG SỐ 2 – BẮC NINH
Chương V. ĐẠO HÀM
Kiểm tra bài cũ
Tính giới hạn

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I – ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
Chương V. ĐẠO HÀM
a. Bài toán tìm vận tốc tức thời


O
y

M0
M1
f(t0)
f(t1)
M0M1
Tại thời điểm t = 0 viên bi ở vị trí O.
Đến thời điểm t = t0 viên bi ở vị trí M0 và đã đi được quãng đường OM0 = f(t0).
Nếu t càng nhỏ thì vtb càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm t0. Người ta xem giới hạn của vtb khi t1 dần tới t0 là vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm t0 và kí hiệu là v(t0).
Tính từ thời điểm t0 đến thời điểm t1 (t0 < t1) viên bi đã đi được quãng đường M0M1 = f(t1) – f(t0) và mất khoảng thời gian t = t1 – t0. Tính vận tốc trung bình của viên bi trên quãng đường M0M1.
Đến thời điểm t = t1 viên bi ở vị trí M1 và đã đi được quãng đường OM1 = f(t1).
b. Bài toán tìm cường độ tức thời
Nhiều vấn đề trong toán học, vật lí, hoá học, sinh học, ... dẫn tới bài toán tìm giới hạn dạng
Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x
dần đến x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0, kí hiệu là f ’(x0) hoặc y’(x0), nghĩa là:
ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc khoảng đó.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Chú ý
f ’(x0) (nếu có) là một số.
Nếu giới hạn viết ở vế phải (1) không tồn tại hoặc bằng vô cực thì f(x) không có đạo hàm tại điểm x0.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 1.
HD
- Áp dụng (1).
- Xem lại các bài tập phần kiểm tra bài cũ!
Lưu ý: Có thể áp dụng (1) để tính f ’(x0) sau đó lần lượt thay x0 = 2, x0 = -3 để được f ’(2) và f ’(-3).
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Đặt
gọi là số gia của biến số tại x0 , và đặt
gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Từ định nghĩa
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
CHÚ Ý
3) Số không nhất thiết chỉ mang dấu dương.
4) là những kí hiệu, không được nhầm lẫn rằng: là tích của với x, là tích của với y.
Như vậy có thể thay kí hiệu bởi kí hiệu khác.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Công thức ở định nghĩa có thể viết
Để tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa ta thực hiện 2 bước sau :
3. Cách tính đạohàm bằng định nghĩa
Ví dụ 2:
HD.
C1.
Ví dụ 3.
HD.
Nhận xét:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0, tức là
Ta có
Vậy hay hàm số f liên tục tại x0.
f ’(x0).0 = 0
f ’(x0).0 = 0.
4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Nếu hàm số y =f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại điểm x0 .
Một hàm số liên tục tại một điểm
có thể có, có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Nếu hàm số y =f(x) gián đoạn tại điểm x0 thì nó không có đạo hàm tại điểm x0 .
f(x) có đạo hàm tại x0
f(x) liên tục tại x0
4. Mối quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Qua tiết này, HS cần nắm được định nghĩa và cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
BTVN
1- Đọc bài đọc thêm SGK trang 154.
2- BT SGK: Bài 1, 2, 3, 4 trang 156.
3- BT SBT: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7 trang 194.
Câu hỏi bổ sung
Cho f(x) = x4. Tính f ’(x0), với x0 là một số thực.