5

PHÉP DỜI HÌNH

THUẬT NGỮ
Phép dời hình

KIẾN THỨC, KỸ NĂNG
- Nhận biết khái niệm phép dời hình
- Vận dụng phép dời hình vào thiết kế đồ họa

5
Bằng quan sát ta có cảm
nhận rằng ba hình a ), b), c)
bằng nhau. Nếu cắt giấy, lấy
riêng ra từng hình, thì ta có
thể xếp chổng khít hai hình
b) và c) với nhau, hay úp
khít hai hình a) và b) (cũng
như hai hình a) và c)) vào
nhau. Đối tượng toán học
nào cho phép ta diễn đạt hai
hình bằng nhau? Ta hãy cùng
tìm hiểu trong bài học này.

PHÉP DỜI HÌNH

HĐ1. Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất nào trong
các tính chất sau?
a. Biến một vectơ thành vectơ bằng nó,
b. Biến một đường tròn thành một đường tròn cùng tâm.
c. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
d. Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Giải:

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay cùng có tính chất c) trong các tính chất
đã cho:
c) Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

Phép biến hình f được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách
f

f

giữa hai điểm bất kì.
Chú ý
- Ta có thể chứng minh được rằng, phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó; biến tam giác thành tam giác bằng nó; biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, có tâm là ảnh của tâm; biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo
toàn thứ tự của chúng; biến đường thẳng thành đường thẳng.
- Hai hình H và H' được gọi là bằng nhau, nếu có phép dời hình biến hình H thành H'.
- Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép đối xứng tâm đều bảo toàn khoảng
cách nên chúng là các phép dời hình.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , gọi f là phép biến hình biến mỗi điểm có
toạ độ  x; y  thành điểm có toạ độ  x; y  1 .
a) Chứng minh rằng f là một phép dời hình.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M , nếu f biến M thành M  thì M khác M  .
c) f có là phép nào trong các phép đối xứng trục, phép quay, phép tịnh tiến hay không?
Giải:

a) Hai điểm bất kì M  x; y , N  x; y có ảnh qua f tương ứng là M  x; y  1, N  x; y  1

Khi đó M N  

 x   x    y 1   y 1 
2

2

x  x    y  y  MN .
2

2

Do đó, f là một phép dời hình.

b) Phép dời hình f biến điểm M  x; y  thành điểm có toạ độ M  x; y  1 . Do
y  y  1 nên M khác M  .
c) Vì phép đối xứng trục biến mỗi điểm trên trục đối xứng thành chính nó và phép
quay biến tâm quay thành chính nó, nên từ b) ta có f không thể là phép đối xứng trục

hay là phép quay.

c) Vì phép đối xứng trục biến mỗi điểm trên trục đối xứng thành chính nó và phép
quay biến tâm quay thành chính nó, nên từ b) ta có f không thể là phép đối xứng trục
hay là phép quay.
Các điểm O 0;0 , A 1;0  tương ứng có ảnh là O0;1, A 1;1 .




Ta có OO 0;1, AA  2;1 . Do OO  AA nên f không thể là phép tịnh tiến.

Vậy mặc dù f là một phép dời hình, nhưng nó không phải là phép tịnh tiến, phép đối
xứng trục, phép quay.
Luyện tập. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ở Hình 1.34 , gọi f là phép biến hình biến mỗi điểm
có toạ độ  x; y  thành điểm có toạ độ  x; y  3 . Trong các khẳng định sau, những khẳng định
nào đúng.
a) f biến ABC thành DEF .
b) f biến DEF thành MNP .
c) f biến ABC thành MNP .

Giải:
Từ Hình 1.34, ta thấy: A(2; 3), B(1; 1), C(3; 1), D(– 2; 3),
E(– 1; 1), F(– 3; 1), M(– 2; 6), N(– 1; 4) và P(– 3; 4).
+ Phép biến hình f biến điểm A(2; 3) thành điểm có tọa độ
(– 2; 3 + 3) = (– 2; 6) hay chính là điểm M.
Phép biến hình f biến điểm B(1; 1) thành điểm có tọa độ
(– 1; 1 + 3) = (– 1; 4) hay chính là điểm N.
Phép biến hình f biến điểm C(3; 1) thành điểm có tọa độ
(– 3; 1 + 3) = (– 3; 4) hay chính là điểm P.
Do đó, phép biến hình f biến tam giác ABC thành tam giác MNP
nên khẳng định c) đúng và khẳng định a) sai.
+ Phép biến hình f biến điểm D(– 2; 3) thành điểm có tọa độ
(– (– 2); 3 + 3) = (2; 6).
Do đó, phép biến hình f không biến tam giác DEF thành tam giác
MNP nên khẳng định b) sai.
Vậy trong các khẳng định đã cho, chỉ có khẳng định c) đúng.

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Một đường thẳng đi qua
O (khác đường chéo) cắt các cạnh AB, CD tương ứng tại M , N (H .1.36). Chứng minh rằng hai
tứ giác AMND và CNMB bằng nhau.

Giải:
Ta có O là trung điểm của các đường chéo AC và BD .

 , AO CO, 
 .
Ta có MAO
OCN
AOM CON

Do đó OAM OCN , suy ra OM ON .
Phép đối xứng tâm O biến các điểm A, M , N , D tương ứng
thành các điểm C , N , M , B , do đó biến tứ giác AMND thành tứ giác CNMB .
Vậy hai tứ giác AMND và CNMB bằng nhau.

Vận dụng. Trong tình huống mở đầu, bằng quan sát (H.1.33), hãy chỉ ra phép dời hình:
a) Biến Hình a) thành Hình b).
b) Biến Hình b ) thành Hình c ).
c) Biến Hình a) thành Hình c).
d) Biến Hình c) thành Hình a).
Giải:

a) Phép đối xứng trục d biến Hình a) thành Hình b).

b) Phép tịnh tiến theo vectơ   u biến Hình b)
thành Hình c).
c) Thực hiện liên tiếp phép
 đối xứng trục d và
phép tịnh tiến theo vectơ u  (thực hiện phép đối
xứng trục
 d trước, phép tịnh tiến theo vectơ 
 sau) tauđược một phép dời hình biến Hình a)
thành Hình c).
d) Thựchiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ  
và phépu đối xứng trục
 d (thực hiện phép tịnh tiến
theo vectơ   trước vàu phép đối xứng trục d sau) ta

LUYỆN TẬP

Bài 1.16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho vectơ u 0;1 . Những khẳng định

nào trong các khẳng định sau là đúng?
a) Phép đối xứng trục Oy biến mỗi điểm M  x; y  thành điểm M  x; y  .


b) Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M  x; y  thành điểm M  x; y  1.
c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ĐOy và Tu ( ĐOy trước, Tu sau) ta được phép
dời hình biến mỗi điểm M  x; y  thành điểm M  x; y  1 .
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ĐOy và Tu
biến điểm A 1; 2  thành điểm A 1;1 .




a) Khẳng định a) đúng. M M '' u
b) Phép tịnh tiến theo vectơ



Giải:
biến điểm M' thành điểm M" sao


cho M M '' (  x  (  x), y  1  y) (0;1) u
Do đó, khẳng định b) đúng.

LUYỆN TẬP

Bài 1.16. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho vectơ u 0;1 . Những khẳng định

nào trong các khẳng định sau là đúng?
c) Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ĐOy và Tu ( ĐOy trước, Tu sau) ta được phép
dời hình biến mỗi điểm M  x; y  thành điểm M  x; y 1 .
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình ĐOy và Tu
biến điểm A 1; 2  thành điểm A 1;1 .

Giải:

c) Vì a) và b) đúng nên khẳng định c) đúng.
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
ĐOy và

Tu biến điểm A(1; 2) thành điểm có tọa độ

là (– 1; 2 + 1) = (– 1; 3) ≠ A"(– 1; 1). Vậy khẳng định d) sai.

Bài 1.17. Bằng quan sát, hãy chỉ ra trong mỗi hình trong Hình 1.37 một phép dời hình
biến hình vuông A thành hình vuông A', đồng thời biến hình bình hành B thành hình bình
hành B'.
Giải:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ  2u
biến hình vuông 𝒜 thành hình vuông 𝒜',
đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình
vuông ℬ'.
b) Phép đối xứng trục ∆ biến hình vuông 𝒜 thành
hình vuông 𝒜', đồng thời biến hình vuông ℬ
thành hình vuông ℬ'.
c) Phép quay tâm O góc – 90° biến hình
vuông 𝒜 thành hình vuông 𝒜', đồng thời biến
hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.
d) Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
Đd và T2u (Đd trước, T2u sau) ta được phép dời hình biến hình vuông 𝒜 thành hình
vuông 𝒜', đồng thời biến hình vuông ℬ thành hình vuông ℬ'.

Bài 1.18. Cho một mảnh giấy hình thang cân ABCD  AB  CD  . Hãy chỉ ra một cách cắt
mảnh giấy đó thành hai mảnh giấy bằng nhau.
Giải:

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì ABCD là
hình thang cân có AB // CD nên d cũng là đường trung
trực của đoạn thẳng CD.
Khi đó, sử dụng phép đối xứng trục d ta chia hình thang
cân ABCD thành 2 hình bằng nhau.
Vậy ta có thể cắt mảnh giấy hình thang cân ABCD theo
trục d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta được
hai mảnh giấy bằng nhau.

Bài 1.19. Hình 1.38 được vẽ dựa theo bức tranh Kị binh (horsmen) của
Escher, gồm các hình bằng nhau mô tả các kị binh trên ngựa.

a) Có phép tịnh tiến biến mỗi chiến binh
thành một chiến binh cùng màu.
b) Có phép đối xứng trục biến mỗi chiến
binh thành một chiến binh khác màu.
c) Có phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp một phép đối xứng
trục và một phép tịnh tiến biến mỗi kị
binh thành một kị binh khác màu.
Giải:

Bằng quan sát, ta nhận thấy
khẳng định a) đúng.