Đ3.phương trinh đường elíp
Quỹ đạo elíp trong hệ mặt trời
Cách vẽ elíp
F1 F2
M
Đ3.phương trinh đường elíp
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c >0. Elíp là tập hợp các điểm M sao cho :
F1M + F2M = 2a.
Trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
* Các điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm của elíp.
* Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elíp.
* Các đoạn thẳng MF1, MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.
1/ §Þnh nghÜa ®­êng elÝp :
F1 F2
M
2.Ph­¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp:
F1 F2
M(x;y)
y
x
0
Cho Elíp (E) có các tiêu điểm F1, F2.
Điểm M(x;y) thuộc (E) khi và chỉ khi

* Chän hÖ trôc täa ®é Oxy sao cho F1(-c;0), F2(c;0)
* X©y dùng ph­¬ng tr×nh cña (E)
Trong đó :
MF1+MF2=2a.
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elíp
Khi và chỉ khi :
Và a> b > 0
* Chän hÖ trôc täa ®é Oxy
MF1=
; MF2=
(1)
Ví dụ 1
Cho elíp (E) :

a/ Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và tính tiêu cự của (E).
b/ Trên (E) tìm tọa độ các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm F1bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiêu điểm F2.

Giải
. Do đó tọa độ các tiêu điểm của (E) là F1 ; F2

; MF2=
MF1=2MF2
Thay x vào pt của (E) ta suy ra :
y=
; y=-
.Vậy
a/ Từ PT chính tắc của (E) suy ra : a2= ;b2=
25
16
suy ra c2=
25-16=9
; suy ra c=3
b/ Gọi M(x;y) thuộc (E), ta có :
MF1=
(-3;0)
(3;0)
6
Tiêu cự của (E) là : 2c=
Ví dụ 2
Cho elip (E) di qua 2 di?m M(0;1) v� N(1; ) . Vi?t phương trình chính tắc của elíp (E).
Giải
Phương trình chính tắc của elíp (E) có dạng:
Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình trên. Từ đó suy ra a2=4 và b2=1.
Vậy (E) có phương trình chính tắc là :
3/ Hình dạng của elíp
* (E) cắt trục Ox tại A1(-a;0) ; A2(a;0) và cắt trục Oy tại B1(0;-b); B2(0;b). Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của (E).
Đoạn thẳng A1A2 =2a gọi là trục lớn , đoạn thẳng B1B2 =2b gọi là trục nhỏ của (E).
Xét elíp (E) có phương trình :
* (E) có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
y
x
0
A1 A2
-a a
b B2



-b B1
a/ Tính đối xứng


b/ T©m sai cña elÝp :
*/ Định nghĩa : Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elíp gọi là tâm sai của elíp.
Kí hiệu là : e = c/a
*/ Chú ý : 0 < e < 1
*/ Ví dụ 1: (Trang 101-SGK)
Ví dụ 2:


a/ Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu điểm của (E)
b/ Tính độ dài các trục, tiêu cự va tam sai của (E).

Cho elíp (E) :
Giải
Từ phương trình
Ta suy ra : a2 =
b2 =
25.
16.
Suy ra a=
Suy ra b=
5
4.
Từ đó ta có : c2 =
a2- b2= 25-16 = 9.
Suy ra c = 3
a/ Tọa độ các đỉnh của elíp là :
A1(-5;0) , A2(5;0) , B1(0;-4) , B2(0;4)
Tọa độ các tiêu điểm của elíp là :
F1(-3;0), F2(3;0)
c/ Liªn hÖ gi÷a ®­êng trßn vµ elÝp
Cho elíp
(Elip vaf pheps co ddwowngf tronf)