Tiết 19: Elip (T1)
- Buộc 2 đầu một sợi dây không đàn hồi vào hai chiếc đinh đóng tại hai điểm F1 và F2 trên bề mặt một tấm gỗ phẳng (hvẽ).
- Đặt đầu bút chì M vào giữa sợi dây rồi căng dây ra, sau đó di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và áp sát mặt tấm gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường elip.

Xét ví dụ sau:
Trả lời:
-Tổng MF1 + MF2 không đổi.
Trong cách vẽ này, khi đầu bút chì M thay đổi, em có nhận xét gì về tổng
MF1 + MF2 ?
Trong mặt phẳng cho hai điểm cố định F1 và F2, với F1F2 = 2c (c > 0).
Tập hợp các điểm M của mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a (a là một số không đổi lớn hơn c) gọi là một elip.
-Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip
-Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip
-Nếu M thuộc elip thì các khoảng cách MF1 và MF2 gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M.
Elip
Định nghĩa:

Minh họa đường elip:
Quỹ đạo chuyển động của mặt trăng quanh trái đất là một elip
2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip (E) như trong định nghĩa (F1F2 = 2c)
Chọn hệ tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của đoạn F1F2. Trục Oy là trung trực của đoạn F1F2, F2 thuộc tia Ox (hình vẽ).
F1
F2
y
x
O
(E)
Hãy cho biết tọa độ hai tiêu điểm F1 và F2?
?
Gọi M(x; y) (E). Ta tính được các bán kính qua tiêu của M:
Từ đó ta có phương trình:
(1)
Ngược lại, nếu M có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình (1) thì dễ thấy M thuộc elip.
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.
- Chú ý: nếu chọn hệ tọa độ sao cho F1(0; -c), F2(0; c) (hình vẽ) thì elip trên có phương trình:
F2
F1
y
x
O
(E)
- Cách nhận dạng (E):
+ Nếu a2 > b2 thì các tiêu điểm F1, F2 thuộc Ox
+ Nếu a2 < b2 thì các tiêu điểm F1, F2 thuộc Oy

Ví dụ 1: Trắc nghiệm
Ví dụ 2: Tìm tọa độ các tiêu điểm F1, F2 của mỗi elip sau:
Elip
1) (E1):
2) (E2):
3) (E3):
1) F1(-3; 0), F2(3; 0)
2) F1(- ; 0), F2( ; 0)
3) F1(0; -2), F2(0; 2)
Ví dụ 3: Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C):
và một số k (0 < k < 1). Khi điểm M0(x0; y0) di động trên (C), hãy tìm quỹ tích các điểm M(x; y) sao cho x = x0 và y = ky0.
Giải
Từ x = x0, y = ky0 ta có x0 = x và y0 = . Do M0(x0; y0)
thuộc (C) nên , tức là:
Đặt b = ka ta được quỹ tích các điểm M là elip (E):
- Người ta nói, phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành elip (E).
- Tương tự ta có phép co đường tròn về trục tung cũng tạo ra một elip.
Như vậy ta có:
Ví dụ 4: Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua hai điểm M(0; 1) và N(1; ). Xác định tọa độ các tiêu điểm F1, F2 của (E).
Giải:
Giả sử elip (E) có phương trình chính tắc:
+ Do (E) đi qua M(0; 1) nên
+ Do (E) đi qua N(1; ) nên
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy (E) có phương trình chính tắc là:
(1)
(2)
- Ta có
Do đó:
Bài tập: Các bài 1, 3, 4, 5 (trang 29, 30 - SGK)
Qua bài học các em cần nắm vững:
Định nghĩa elip
+ Các tiêu điểm. Tiêu cự.
+ Các bán kính qua tiêu của 1 điểm trên elip.
Phương trình của elip
+ Tọa độ các tiêu điểm
+ Công thức tính các bán kính qua tiêu của 1 điểm trên elip
+ Phương trình chính tắc của elip.
Elip